Mathematik Lineare Algebra – Singulärwertzerlegung
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14 KartenWie lautet die Singulärwertzerlegung einer Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿ?
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A = UΣVᵀ mit orthogonalen U ∈ ℝᵐˣᵐ, V ∈ ℝⁿˣⁿ und Diagonalmatrix Σ ∈ ℝᵐˣⁿ mit nicht-negativen Singulärwerten σ₁ ≥ … ≥ σᵣ > 0.
Was sind die Singulärwerte einer Matrix A?
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Die Singulärwerte σᵢ sind die nicht-negativen Wurzeln der Eigenwerte von AᵀA (oder AAᵀ), sortiert absteigend: σᵢ = √λᵢ(AᵀA).
Welche Eigenschaften haben die Matrizen U und V in der SVD?
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U und V sind orthogonal (UᵀU = I, VᵀV = I). Die Spalten von U sind Eigenvektoren von AAᵀ, die Spalten von V Eigenvektoren von AᵀA.
Wie bestimmt man den Rang einer Matrix mittels SVD?
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Der Rang r entspricht der Anzahl der positiven Singulärwerte. Null-Singulärwerte zeigen dimensionsdefizite an.
Was besagt der Satz von Eckart-Young-Mirsky?
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Die beste Approximation einer Matrix A niedrigeren Rangs k (in Spektral- und Frobeniusnorm) ergibt sich durch Abschneiden der SVD nach den größten k Singulärwerten.
Wie berechnet man die Moore-Penrose-Pseudoinverse A⁺ mit der SVD?
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Aus A = UΣVᵀ folgt A⁺ = VΣ⁺Uᵀ, wobei Σ⁺ durch Kehrwerte der nicht-null Singulärwerte und Transposition entsteht.
Was ist der Unterschied zwischen voller und kompakter SVD?
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Voll-SVD: U ∈ ℝᵐˣᵐ, Σ ∈ ℝᵐˣⁿ, V ∈ ℝⁿˣⁿ. Kompakt-SVD: nur erste r Spalten von U, V und r×r-Diagonalmatrix Σᵣ mit r = Rang(A).
Wann sind die Singulärwerte einer Matrix eindeutig bestimmt?
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Die Singulärwerte sind immer eindeutig. U und V sind eindeutig bis auf Vorzeichen der Spalten bei einfachen Singulärwerten; bei Mehrfachheit gibt es Freiheitsgrade in den zugehörigen Unterräumen.
Wie nutzt man SVD für Hauptkomponentenanalyse (PCA)?
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Zentrierte Datenmatrix X = UΣVᵀ. Hauptkomponenten sind Spalten von V (Lasten), Scores sind UΣ. Varianz erklärt durch σᵢ²/(n-1).
Wie interpretiert man die Bedingungszahl κ(A) = σ₁/σᵣ der SVD?
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Das Verhältnis größter zu kleinstem Singulärwert misst die Empfindlichkeit der Lösung linearer Gleichungssysteme gegenüber Störungen – groß heißt schlecht konditioniert.
Existiert die SVD für jede reelle Matrix?
Rückseite
Ja, die SVD existiert für jede Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿ (auch für komplexe Matrizen). Der Beweis nutzt die Spektralsatzzerlegung von AᵀA.
Wie erkennt man aus der SVD den Kern (Nullraum) einer Matrix?
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Der Kern wird aufgespannt von den Spalten von V, die zu Singulärwert 0 gehören. Dimension des Kerns = n - Rang(A).
Welchen Zusammenhang haben SVD und Eigenwertzerlegung?
Rückseite
Für symmetrisch positiv semidefinite Matrizen stimmen SVD und Eigenwertzerlegung überein (U = V, Singulärwerte = Eigenwerte). Allgemein diagonalisiert SVD AᵀA und AAᵀ statt A selbst.
Wie wirkt sich SVD auf die Bildkompression aus?
Rückseite
Bild als Matrix A. Approximation durch Rang-k-SVD speichert nur Uₖ, Σₖ, Vₖᵀ statt voller Matrix. Kompressionsrate ≈ (m+n+1)k / mn bei visuellem Qualitätsverlust abhängig von Singulärwertabfall.