Mathematik Stochastik – Stetige Verteilungen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was definiert eine stetige Zufallsvariable? · Wie lautet die Dichtefunktion der Norma…
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14 KartenWas definiert eine stetige Zufallsvariable?
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Eine stetige Zufallsvariable nimmt unendlich viele Werte in einem Intervall an; ihre Wahrscheinlichkeiten werden durch eine Dichtefunktion beschrieben.
Wie lautet die Dichtefunktion der Normalverteilung?
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f(x) = (1/√(2πσ²)) · exp(-(x-μ)²/(2σ²)) mit Erwartungswert μ und Varianz σ².
Was besagt die 68-95-99,7-Regel der Normalverteilung?
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Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb von ±1σ, 95 % innerhalb ±2σ und 99,7 % innerhalb ±3σ um den Erwartungswert.
Wie standardisiert man eine normalverteilte Zufallsvariable?
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Z = (X - μ)/σ wandelt X ~ N(μ,σ²) in Z ~ N(0,1) um; Z-Werte lassen sich in Standardnormalverteilungstabellen nachschlagen.
Welche Eigenschaft kennzeichnet die Exponentialverteilung?
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Sie ist gedächtnislos: P(X > s+t | X > s) = P(X > t); oft für Wartezeiten oder Lebensdauern verwendet.
Wie lautet die Dichtefunktion der Exponentialverteilung?
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f(x) = λ·e^(-λx) für x ≥ 0 mit Rate λ > 0; Erwartungswert 1/λ, Varianz 1/λ².
Was beschreibt die stetige Gleichverteilung auf [a,b]?
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Alle Werte im Intervall [a,b] sind gleich wahrscheinlich; Dichte f(x) = 1/(b-a), Erwartungswert (a+b)/2, Varianz (b-a)²/12.
Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Verteilungen?
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P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F die Verteilungsfunktion (Integral der Dichte) ist.
Wann approximiert die Normalverteilung die Binomialverteilung?
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Bei großem n und p nicht zu nah an 0 oder 1 (Faustregel: n·p > 5 und n·(1-p) > 5) mit μ = n·p, σ² = n·p·(1-p).
Was ist der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable?
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E[X] = ∫ x·f(x) dx über den Definitionsbereich; gewichtetes Mittel aller möglichen Werte mit ihrer Dichte als Gewicht.
Wie berechnet man die Varianz stetiger Verteilungen?
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Var(X) = E[X²] - (E[X])² = ∫ x²·f(x) dx - μ²; misst die Streuung um den Erwartungswert.
Was besagt der Zentrale Grenzwertsatz für Stichprobenmittelwerte?
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Der Mittelwert großer Stichproben (n > 30) ist annähernd normalverteilt, unabhängig von der Grundverteilung der Population.
Wie hängen Dichte- und Verteilungsfunktion zusammen?
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F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt; f(x) = F'(x) an Stetigkeitsstellen; F ist monoton steigend, rechtsstetig mit Limes 0 und 1.
Was bedeutet der Quantil q_p einer stetigen Verteilung?
Rückseite
q_p erfüllt F(q_p) = p; der p-Quantil ist der Wert, den die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit p nicht überschreitet.