Mathematik Lineare Algebra – Determinanten und Inverse
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15 KartenWas ist die Determinante einer quadratischen Matrix?
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Die Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und Informationen über Invertierbarkeit und Volumenskalierung liefert.
Wie berechnet man die Determinante einer 2x2-Matrix?
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Für eine 2x2-Matrix mit Einträgen a, b, c, d berechnet sich die Determinante als ad minus bc.
Welche Regel nutzt man für die Determinante einer 3x3-Matrix?
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Die Sarrus-Regel erweitert die Matrix um die ersten beiden Spalten und summiert die Produkte der Hauptdiagonalen minus der Nebendiagonalen.
Was besagt der Laplace-Entwicklungssatz für Determinanten?
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Die Determinante lässt sich nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln, indem man jedes Element mit seinem Kofaktor multipliziert und summiert.
Wie ändert sich die Determinante bei Vertauschung zweier Zeilen?
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Vertauscht man zwei Zeilen einer Matrix, wechselt die Determinante ihr Vorzeichen, ihr Betrag bleibt unverändert.
Wie verhält sich die Determinante beim Matrixprodukt?
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Die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen gleich der Produkt ihrer Determinanten: det(AB) = det(A) * det(B).
Wann ist eine quadratische Matrix invertierbar?
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Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist; dann existiert eine eindeutige Inverse A⁻¹ mit A·A⁻¹ = I.
Wie berechnet man die Inverse einer 2x2-Matrix?
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Die Inverse einer 2x2-Matrix ergibt sich durch Vertauschen der Diagonaleinträge, Vorzeichenwechsel der Nebendiagonaleinträge und Division durch die Determinante.
Wie lässt sich die Inverse mithilfe der Adjunkten bestimmen?
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Die Inverse gleich der transponierten Kofaktormatrix (Adjunkten) geteilt durch die Determinante: A⁻¹ = adj(A) / det(A).
Wofür wird die Cramersche Regel verwendet?
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Die Cramersche Regel löst lineare Gleichungssysteme mit eindeutig bestimmter Koeffizientenmatrix exakt durch Quotienten von Determinanten.
Was sagt die Determinante über den Rang einer quadratischen Matrix aus?
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Ist die Determinante ungleich null, hat die Matrix vollen Rang; ist sie null, ist der Rang kleiner als die Dimension.
Wie verhält sich die Determinante zur transponierten Matrix?
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Die Determinante bleibt unverändert, wenn man die Matrix transponiert, da Zeilen und Spalten vertauscht werden.
Wie berechnet man die Determinante einer Blockdreiecksmatrix?
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Bei einer Blockdreiecksmatrix berechnet sich die Determinante als Produkt der Determinanten der auf der Diagonale liegenden Blöcke.
Wie berechnet man die Inverse eines Matrixprodukts?
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Die Inverse eines Produkts ist das Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Determinante und Eigenwerten?
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Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte, wobei jeder Eigenwert gemäß seiner algebraischen Vielfachheit eingerechnet wird.