Mathematik Stochastik – Bedingte Wahrscheinlichkeit und Bayes
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14 KartenWie lautet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B)?
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P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) für P(B) > 0. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung an, dass B bereits eingetreten ist.
Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?
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Genau dann, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B) gilt. Äquivalent: P(A|B) = P(A) und P(B|A) = P(B) – das Eintreten von B ändert die Wahrscheinlichkeit von A nicht.
Was besagt die Produktregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten?
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P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A). Sie erlaubt, die Schnittwahrscheinlichkeit aus einer bedingten und der Bedingungswahrscheinlichkeit zu berechnen.
Formuliere den Totalsatz der Wahrscheinlichkeit für eine Partition B₁, ..., Bₙ.
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P(A) = Σ P(A|Bᵢ) · P(Bᵢ) über alle i. Die Bᵢ bilden eine disjunkte Zerlegung des Ergebnisraums mit P(Bᵢ) > 0.
Wie lautet das Bayes-Theorem in seiner Standardform?
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P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ) · P(Bᵢ) / Σ P(A|Bⱼ) · P(Bⱼ). Es kehrt die Bedingung um: aus Vorwärtswahrscheinlichkeiten wird die Rückwärtswahrscheinlichkeit berechnet.
Was ist der Unterschied zwischen Sensitivität und Spezifität eines medizinischen Tests?
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Sensitivität = P(Positiv|Krank) – Wahrscheinlichkeit, dass ein Kranker positiv getestet wird. Spezifität = P(Negativ|Gesund) – Wahrscheinlichkeit, dass ein Gesunder negativ getestet wird.
Erkläre die Basisratenvernachlässigung am Beispiel eines seltenen Krankheitstests.
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Bei seltener Krankheit (z. B. 0,1 %) und Test mit 99 % Sensitivität/Spezifität ist P(Krank|Positiv) nur ca. 9 %. Die niedrige Basisrate dominiert – Intuition überschätzt die Trefferquote massiv.
Warum sind P(A|B) und P(B|A) grundsätzlich verschieden?
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Sie beziehen sich auf unterschiedliche Bedingungsmengen. P(A|B) nutzt P(B) als Nenner, P(B|A) nutzt P(A). Nur bei P(A)=P(B) oder Unabhängigkeit fallen sie zusammen.
Wie berechnest du P(A|B) bei einem Urnenmodell ohne Zurücklegen?
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit ändert sich nach jedem Zug. Beispiel: 3 rot, 2 blau. P(2. rot | 1. rot) = 2/4 = 0,5, da nach erstem Rot-Zug noch 2 rot und 2 blau in der Urne sind.
Was bedeutet die Kettenregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten?
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P(A₁ ∩ ... ∩ Aₙ) = P(A₁) · P(A₂|A₁) · P(A₃|A₁∩A₂) · ... · P(Aₙ|A₁∩...∩Aₙ₋₁). Sie zerlegt eine Schnittwahrscheinlichkeit in Produkt bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Wie gehst du bei einer zweistufigen Bayes-Aufgabe vor (z. B. Test nach Test)?
Rückseite
Erstelle Baumdiagramm mit zwei Ebenen. Berechne Posterior-Wahrscheinlichkeit nach erstem Test, nutze diese als neue Prior-Wahrscheinlichkeit für den zweiten Test. Multipliziere Pfade entlang der beobachteten Ergebnisse.
Was ist der Unterschied zwischen a priori- und a posteriori-Wahrscheinlichkeit bei Bayes?
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A priori (P(Bᵢ)): Wahrscheinlichkeit vor Beobachtung der Daten. A posteriori (P(Bᵢ|A)): aktualisierte Wahrscheinlichkeit nach Einbeziehung der Evidenz A. Bayes aktualisiert Wissen systematisch.
Wie wendest du Bayes bei diskreten Zufallsvariablen an?
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P(X=x|Y=y) = P(Y=y|X=x) · P(X=x) / P(Y=y). Der Nenner P(Y=y) wird über den Totalsatz berechnet: Σ P(Y=y|X=xᵢ) · P(X=xᵢ) über alle möglichen Werte xᵢ.
Nenne eine typische Klausurfalle beim Bayes-Theorem.
Rückseite
Verwechslung von P(A|B) und P(B|A) oder Vergessen des Nenners (Totalsatz). Auch: Annahme von Unabhängigkeit, wo keine vorliegt, oder Nutzung der falschen Basisrate (Prävalenz).