Mathematik Algebra – Ringe und Körper
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Ring in der Algebra? · Wann heißt ein Ring kommutativ?
Karten
14 KartenWas ist ein Ring in der Algebra?
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Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition, Multiplikation), wobei (R,+) eine abelsche Gruppe ist, die Multiplikation assoziativ und distributiv zur Addition ist.
Wann heißt ein Ring kommutativ?
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Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist, also a·b = b·a für alle Elemente a,b des Rings gilt.
Was unterscheidet einen Körper von einem Ring?
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Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement ≠ 0, in dem jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses besitzt – Division ist also immer möglich.
Was ist ein Nullteiler in einem Ring?
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Ein Element a ≠ 0 heißt Nullteiler, wenn es ein b ≠ 0 gibt mit a·b = 0. In Körpern gibt es keine Nullteiler außer 0 selbst.
Was definiert einen Integritätsbereich?
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Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring mit Einselement ≠ 0, der keine Nullteiler außer 0 besitzt – also ein kommutativer Ring ohne Nullteiler.
Warum ist ℤ ein Integritätsbereich, aber kein Körper?
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ℤ ist kommutativ, hat die 1 und keine Nullteiler, aber Elemente wie 2 besitzen kein multiplikatives Inverses in ℤ – Division ist nicht immer möglich.
Nenne drei Beispiele für Körper.
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Die rationalen Zahlen ℚ, die reellen Zahlen ℝ und die komplexen Zahlen ℂ sind klassische Beispiele für Körper.
Was ist ein Ideal in einem Ring?
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Ein Ideal I ist eine Teilmenge des Rings, die bezüglich Addition eine Untergruppe bildet und das Absorptionseigenschaft erfüllt: r·i ∈ I für alle r ∈ R, i ∈ I.
Was ist ein Hauptidealbereich?
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Ein Hauptidealbereich ist ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, also von einem einzigen Element erzeugt wird – Beispiel: ℤ.
Wann ist der Polynomring R[X] ein Integritätsbereich?
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Der Polynomring R[X] ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn der Koeffizientenring R selbst ein Integritätsbereich ist.
Was besagt die Charakteristik eines Körpers?
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Die Charakteristik ist die kleinste positive Zahl n mit n·1 = 0, oder 0, falls keine solche Zahl existiert. Bei Körpern ist sie immer 0 oder eine Primzahl.
Für welche n existiert ein endlicher Körper mit n Elementen?
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Ein endlicher Körper mit n Elementen existiert genau dann, wenn n = p^k mit einer Primzahl p und k ∈ ℕ ist – die Ordnung ist immer eine Primzahlpotenz.
Was ist eine Körpererweiterung L/K?
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Eine Körpererweiterung L/K ist ein Paar von Körpern, wobei K ein Unterkörper von L ist – L wird dann als Vektorraum über K betrachtet.
Was ist der Grad einer Körpererweiterung?
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Der Grad [L:K] ist die Dimension von L als Vektorraum über K – er ist endlich genau dann, wenn die Erweiterung algebraisch und endlich erzeugt ist.