Mathematik Analysis – Taylor-Polynome und Approximation
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist das Taylor-Polynom n-ten Grades einer Funktion f in x0? · Wie lautet die Tayl…
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15 KartenWas ist das Taylor-Polynom n-ten Grades einer Funktion f in x0?
Rückseite
T_n(x) = Σ_{k=0}^n f^{(k)}(x0)/k! · (x-x0)^k. Es stimmt in x0 bis zur n-ten Ableitung mit f überein.
Wie lautet die Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied?
Rückseite
f(x) = T_n(x) + R_n(x) mit R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! · (x-x0)^{n+1}, ξ zwischen x0 und x.
Wann konvergiert die Taylor-Reihe gegen die Funktion f?
Rückseite
Gleichmäßig auf Kompakta, wenn lim_{n→∞} sup_{x∈K} |R_n(x)| = 0 gilt. Für analytische Funktionen konvergiert sie im Konvergenzintervall.
Was ist das Maclaurin-Polynom und wie unterscheidet es sich?
Rückseite
Spezialfall des Taylor-Polynoms mit Entwicklungsstelle x0 = 0: T_n(x) = Σ_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k! · x^k.
Nenne die Taylor-Reihen von e^x, sin x und cos x um x0 = 0.
Rückseite
e^x = Σ x^k/k!, sin x = Σ (-1)^k x^{2k+1}/(2k+1)!, cos x = Σ (-1)^k x^{2k}/(2k)!. Alle konvergieren auf ℝ.
Wie schätzt man den Approximationsfehler mit dem Lagrange-Rest ab?
Rückseite
|R_n(x)| ≤ M/(n+1)! · |x-x0|^{n+1}, wobei M = sup_{ξ∈I} |f^{(n+1)}(ξ)| auf einem Intervall I zwischen x0 und x.
Was besagt der Satz von Taylor für mehrdimensionale Funktionen?
Rückseite
f(x) = f(x0) + ∇f(x0)^T(x-x0) + 1/2 (x-x0)^T H_f(ξ)(x-x0). Gradient und Hesse-Matrix ersetzen Ableitungen.
Wie berechnet man Taylor-Polynome für zusammengesetzte Funktionen wie sin(x^2)?
Rückseite
Einsetzen in bekannte Reihen: sin(x^2) = Σ (-1)^k x^{4k+2}/(2k+1)!. Gültig im gemeinsamen Konvergenzbereich der äußeren Reihe.
Welche Rolle spielen Landau-Symbole O und o in Taylor-Entwicklungen?
Rückseite
f(x) = T_n(x) + o((x-x0)^n) bedeutet: Rest wächst langsamer als (x-x0)^n. O((x-x0)^{n+1}) gibt explizite Abschätzung der Restordnung.
Wie leitet man die L'Hospital-Regel mit Taylor-Polynomen her?
Rückseite
Für f(x0)=g(x0)=0: f(x)/g(x) = [f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)] / [g'(x0)(x-x0)+o(x-x0)] → f'(x0)/g'(x0) für x→x0.
Was ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe und wie bestimmt man ihn?
Rückseite
r = 1/limsup |a_n|^{1/n} (Cauchy-Hadamard) oder r = lim |a_n/a_{n+1}| (Quotienten-Kriterium). Konvergenz für |x-x0| < r.
Wie approximiert man √2 mit Taylor-Polynomen und schätzt den Fehler?
Rückseite
Entwicklung von √(1+x) um 0: T_2(1) = 1 + 1/2 - 1/8 = 1.375. Fehler |R_2| ≤ 1/16 · 1^3 = 0.0625 (Lagrange-Rest).
Was ist der Unterschied zwischen Taylor-Polynom und Taylor-Reihe?
Rückseite
Polynom: endliche Summe bis Grad n mit Restglied. Reihe: unendliche Summe Σ_{k=0}^∞. Reihe konvergiert ggf. gegen f, Polynom approximiert f lokal.
Wie lautet das Taylor-Polynom für ln(1+x) um x0=0 und wo konvergiert es?
Rückseite
T_n(x) = Σ_{k=1}^n (-1)^{k-1} x^k/k. Konvergiert für -1 < x ≤ 1 (Rand x=1 konvergiert bedingt, x=-1 divergiert).
Was besagt der Integralrest der Taylor-Formel?
Rückseite
R_n(x) = 1/n! ∫_{x0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt. Vorteil: Keine Zwischenstelle ξ nötig, direkt aus Ableitungen berechenbar.