Mathematik Analysis – Kurvenintegrale
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15 KartenWas ist ein Kurvenintegral 1. Art (Skalar-Kurvenintegral)?
Rückseite
Integral eines Skalarfeldes entlang einer Kurve: ∫_C f(x) ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, wobei ds das Bogenlängenelement ist.
Was ist ein Kurvenintegral 2. Art (Vektor-Kurvenintegral)?
Rückseite
Integral eines Vektorfeldes entlang einer orientierten Kurve: ∫_C F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r'(t) dt, misst die Arbeit des Feldes entlang des Pfades.
Wie berechnet man das Bogenlängenelement ds bei einer Parameterdarstellung r(t)?
Rückseite
ds = |r'(t)| dt, also der Betrag der Ableitung der Parameterdarstellung nach dem Parameter mal dt.
Wann ist ein Kurvenintegral 2. Art wegunabhängig?
Rückseite
Genau dann, wenn das Vektorfeld ein Gradientfeld ist (F = ∇φ), also ein Potential φ existiert – dann hängt das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt ab.
Was besagt der Satz von Green in der Ebene?
Rückseite
Für ein einfach zusammenhängendes Gebiet G mit Randkurve C: ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_G (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA – verbindet Kurvenintegral mit Flächenintegral.
Was besagt der Satz von Stokes im ℝ³?
Rückseite
Für eine Fläche Σ mit Randkurve ∂Σ: ∮_∂Σ F·dr = ∬_Σ (∇×F)·n dσ – verknüpft Kurvenintegral des Vektorfeldes mit Flächenintegral seiner Rotation.
Was besagt der Gaußsche Integralsatz (Divergenzsatz)?
Rückseite
Für einen abgeschlossenen Volumenkörper V mit Randfläche ∂V: ∬_∂V F·n dσ = ∭_V ∇·F dV – verbindet Fluss durch Randfläche mit Volumenintegral der Divergenz.
Was ist ein konservatives Vektorfeld?
Rückseite
Ein Vektorfeld F heißt konservativ, wenn es ein Gradientfeld ist (F = ∇φ) – dann verschwindet die Rotation (∇×F = 0) und Kurvenintegrale sind wegunabhängig.
Wie prüft man, ob ein Vektorfeld im ℝ² ein Gradientfeld ist?
Rückseite
Für F = (P, Q) muss die Integrabilitätsbedingung ∂P/∂y = ∂Q/∂x im Untersuchungsgebiet erfüllt sein (bei einfach zusammenhängendem Gebiet hinreichend).
Was ist der Unterschied zwischen geschlossener und offener Kurve beim Kurvenintegral 2. Art?
Rückseite
Bei geschlossener Kurve (∮) kann der Integralsatz von Green/Stokes angewendet werden; bei offener Kurve hängt das Ergebnis vom konkreten Pfad ab, außer bei Gradientfeldern.
Wie berechnet man die Arbeit eines Kraftfeldes F entlang einer Kurve C?
Rückseite
Arbeit W = ∫_C F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r'(t) dt – das Kurvenintegral 2. Art des Kraftfeldes entlang des Bewegungsweges.
Was bedeutet 'einfach zusammenhängend' für die Anwendung der Integralsätze?
Rückseite
Jede geschlossene Kurve kann im Gebiet stetig zu einem Punkt zusammengezogen werden – ohne Löcher. Voraussetzung für Green, Stokes und Potentialexistenz.
Wie bestimmt man ein Potential φ zu einem Gradientfeld F = (P, Q, R)?
Rückseite
Integriere ∂φ/∂x = P nach x, vergleiche ∂φ/∂y mit Q und ∂φ/∂z mit R, bestimme Integrationskonstanten als Funktionen der anderen Variablen.
Was ist die Zirkulation eines Vektorfeldes entlang einer geschlossenen Kurve?
Rückseite
Die Zirkulation ist das Kurvenintegral 2. Art entlang einer geschlossenen Kurve: ∮_C F·dr – misst die 'Wirbelstärke' des Feldes entlang des geschlossenen Pfades.
Wann verschwindet das Kurvenintegral 2. Art eines Gradientfeldes über eine geschlossene Kurve?
Rückseite
Immer, denn ∮_C ∇φ·dr = φ(Ende) - φ(Anfang) = 0 bei geschlossenem Pfad – direkter Folgerung aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.