Mathematik Analysis – Integrationsmethoden
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist die Substitutionsregel für unbestimmte Integrale? · Wie ändern sich die Integ…
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14 KartenWas ist die Substitutionsregel für unbestimmte Integrale?
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Bei ∫ f(g(x))·g'(x) dx setze u = g(x), dann du = g'(x) dx und das Integral wird zu ∫ f(u) du.
Wie ändern sich die Integrationsgrenzen bei der Substitution in bestimmten Integralen?
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Die Grenzen werden mit der Substitutionsfunktion transformiert: neue untere Grenze = g(a), neue obere Grenze = g(b). Rücksubstitution entfällt.
Nenne die Formel der partiellen Integration für unbestimmte Integrale.
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∫ u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) - ∫ u'(x)·v(x) dx. Man leitet u ab und integriert v'.
Nach welcher Faustregel (LIATE) wählt man u bei der partiellen Integration?
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LIATE-Reihenfolge für u: Logarithmus, Inverse trigonometrische, Algebraische, Trigonometrische, Exponentialfunktion. Die linksstehende Funktion wird abgeleitet.
Wann wendet man Partialbruchzerlegung an?
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Bei rationalen Funktionen P(x)/Q(x), wenn Grad(P) < Grad(Q) und Q in lineare/quadratische Faktoren zerfällt. Andernfalls erst Polynomdivision durchführen.
Wie lautet der Partialbruch-Ansatz für einen doppelten linearen Faktor (x-a)² im Nenner?
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A/(x-a) + B/(x-a)². Jede Potenz bis zur maximalen erhält einen eigenen Term mit konstantem Zähler.
Welchen Ansatz wählt man bei einem irreduziblen quadratischen Faktor x²+px+q im Nenner?
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(Bx+C)/(x²+px+q). Der Zähler ist linear, da die Ableitung des Nenners linear ist und logarithmische/arctan-Terme entstehen.
Welche Substitution vereinfacht Integrale mit √(a²-x²)?
Rückseite
Trigonometrische Substitution x = a·sin(t), dx = a·cos(t) dt. Der Wurzelausdruck wird zu a·cos(t) durch sin²+cos²=1.
Welche Substitution hilft bei √(x²+a²)?
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Hyperbolische Substitution x = a·sinh(t) oder trigonometrisch x = a·tan(t). Beide nutzen 1+sinh²=cosh² bzw. 1+tan²=sec².
Wie erkennt man, dass Teilintegration angewendet werden muss?
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Das Integrand ist ein Produkt zweier Funktionen, wobei eine durch Ableitung einfacher wird und die andere leicht integrierbar ist.
Was ist ein uneigentliches Integral und wie berechnet man es?
Rückseite
Integral mit unendlicher Integrationsgrenze oder Unstetigkeit im Intervall. Berechnung als Grenzwert: ∫ₐ^∞ f(x) dx = lim(b→∞) ∫ₐᵇ f(x) dx.
Wann konvergiert das uneigentliche Integral ∫₁^∞ 1/x^p dx?
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Konvergiert genau für p > 1 (Wert: 1/(p-1)), divergiert für p ≤ 1. Wichtiger Vergleichsmaßstab für Konvergenztests.
Nenne einen Trick, um ∫ eˣ·sin(x) dx zu lösen.
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Zweimal partielle Integration anwenden, bis das ursprüngliche Integral wieder auftaucht. Dann algebraisch auflösen: I = ½ eˣ(sin x - cos x) + C.
Wie integriert man ∫ 1/(x²+a²) dx?
Rückseite
Standardintegral: (1/a)·arctan(x/a) + C. Entsteht oft bei Partialbruchzerlegung mit irreduziblen quadratischen Nennern.