Mathematik Stochastik – Gesetze der großen Zahlen
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14 KartenWas besagt das schwache Gesetz der großen Zahlen (WLLN)?
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Für i.i.d. Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert μ konvergiert der Stichprobenmittelwert in Wahrscheinlichkeit gegen μ.
Was besagt das starke Gesetz der großen Zahlen (SLLN)?
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Für i.i.d. Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert μ konvergiert der Stichprobenmittelwert fast sicher gegen μ.
Worin liegt der Unterschied zwischen schwachem und starkem Gesetz?
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Das schwache Gesetz fordert Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, das starke Gesetz die stärkere fast sichere Konvergenz (Punkt-für-Punkt-Konvergenz für fast alle ω).
Welche Voraussetzungen benötigen die klassischen Gesetze der großen Zahlen?
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Unabhängige, identisch verteilte (i.i.d.) Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert; für das klassische WLLN nach Chebyshev zusätzlich endliche Varianz.
Wie beweist die Chebyshev-Ungleichung das schwache Gesetz?
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Sie schätzt P(|X̄_n - μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/(nε²) ab, was für n → ∞ gegen 0 geht – das ist Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
Was bedeutet 'fast sichere Konvergenz' formal?
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P(lim_{n→∞} X̄_n = μ) = 1 – die Menge der ω, für die X̄_n(ω) nicht gegen μ konvergiert, hat Maß null.
Gilt das starke Gesetz auch ohne endliche Varianz?
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Ja, das starke Gesetz nach Kolmogorow (1933) verlangt nur i.i.d. und endlichen Erwartungswert; endliche Varianz ist nicht nötig.
Was besagt das Gesetz der großen Zahlen von Khintschin (1929)?
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Für i.i.d. Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert gilt das schwache Gesetz – es war der erste allgemeine Beweis ohne Varianzvoraussetzung.
Wie interpretiert man das Gesetz der großen Zahlen am Münzwurf-Beispiel?
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Bei n unabhängigen Würfen konvergiert die relative Häufigkeit von 'Kopf' fast sicher gegen die theoretische Wahrscheinlichkeit 0,5.
Was passiert, wenn die i.i.d.-Voraussetzung verletzt ist?
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Die Gesetze können versagen: Bei starken Abhängigkeiten (z. B. deterministische Folge) oder nicht identischer Verteilung konvergiert der Mittelwert nicht notwendigerweise gegen den Erwartungswert.
Welchen Zusammenhang gibt es zum zentralen Grenzwertsatz?
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Der ZGS beschreibt die Verteilungsnähe des normierten Mittelwerts zur Normalverteilung; die Gesetze der großen Zahlen besagen nur die Konvergenz des unnormierten Mittelwerts gegen die Konstante μ.
Wie nutzt die Versicherungsmathematik das Gesetz der großen Zahlen?
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Prämien werden so kalkuliert, dass der durchschnittliche Schaden über viele unabhängige Verträge fast sicher den Erwartungswert erreicht – Risiken werden diversifizierbar.
Was besagt das Borel-Cantelli-Lemma im Kontext des starken Gesetzes?
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Es liefert das Kriterium: Σ P(|X̄_n - μ| > ε) < ∞ für alle ε > 0 impliziert fast sichere Konvergenz – zentraler Baustein im Beweis des SLLN.
Gibt es ein Gesetz der großen Zahlen für Martingale?
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Ja: Für ein Martingal (X_n) mit sup_n E[|X_n|] < ∞ konvergiert X_n fast sicher gegen eine integrierbare Zufallsvariable X_∞ (Martingal-Konvergenzsatz).