Mathematik Stochastik – Wahrscheinlichkeitsräume
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Wahrscheinlichkeitsraum? · Welche drei Axiome fordert Kolmogorov für ein …
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14 KartenWas ist ein Wahrscheinlichkeitsraum?
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Ein Tripel (Ω, Σ, P) aus Ergebnisraum Ω, σ-Algebra Σ und Wahrscheinlichkeitsmaß P, das den Kolmogorov-Axiomen genügt.
Welche drei Axiome fordert Kolmogorov für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P?
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Nichtnegativität P(A) ≥ 0, Normierung P(Ω) = 1, σ-Additivität für abzählbar viele disjunkte Ereignisse.
Was unterscheidet eine σ-Algebra Σ von einer bloßen Algebra auf Ω?
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Eine σ-Algebra ist abgeschlossen unter abzählbar unendlichen Vereinigungen, eine Algebra nur unter endlichen.
Warum ist die Potenzmenge P(Ω) bei endlichem Ω eine σ-Algebra?
Rückseite
Sie enthält alle Teilmengen, ist abgeschlossen unter Komplement und endlichen (damit auch abzählbaren) Vereinigungen.
Wann spricht man von einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum?
Rückseite
Wenn Ω endlich oder abzählbar unendlich ist und Σ = P(Ω) gewählt wird, oft mit Laplace-Verteilung P({ω}) = 1/|Ω|.
Wie wird das Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem diskreten Raum durch Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmt?
Rückseite
Durch P(A) = Σ_{ω∈A} p_ω mit p_ω = P({ω}) ≥ 0 und Σ_{ω∈Ω} p_ω = 1 für alle A ⊆ Ω.
Was charakterisiert ein stetiges Wahrscheinlichkeitsmodell wie das gleichverteilte auf [0,1]?
Rückseite
Ω = [0,1], Σ = Borel-σ-Algebra, P([a,b]) = b−a für 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 über das Lebesgue-Maß definiert.
Welche Eigenschaft folgt aus P(Ω) = 1 und σ-Additivität für das unmögliche Ereignis?
Rückseite
P(∅) = 0, da Ω = Ω ∪ ∪_{i≥1} ∅ disjunkt und σ-Additivität P(Ω) = P(Ω) + Σ P(∅) erzwingt.
Wie berechnet man die Gegenwahrscheinlichkeit P(A^c) eines Ereignisses A?
Rückseite
P(A^c) = 1 − P(A), weil A und A^c disjunkt sind und Ω = A ∪ A^c mit P(Ω) = 1.
Was besagt die Subtraktionsregel für Wahrscheinlichkeiten P(A \ B)?
Rückseite
Für B ⊆ A gilt P(A \ B) = P(A) − P(B), da A = B ∪ (A \ B) disjunkt und σ-additiv.
Wie lautet die Inklusions-Exklusions-Formel für zwei Ereignisse A, B?
Rückseite
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), da die Schnittmenge bei Addition doppelt gezählt wird.
Was besagt die Stetigkeit von unten für ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Rückseite
Für aufsteigende Folge A_1 ⊆ A_2 ⊆ ... gilt P(∪_n A_n) = lim_{n→∞} P(A_n).
Wie definiert man das Produkt-Wahrscheinlichkeitsmaß für unabhängige Experimente?
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Auf (Ω_1 × Ω_2, Σ_1 ⊗ Σ_2) durch P(A_1 × A_2) = P_1(A_1) · P_2(A_2) für Messbare A_i.
Warum kann man auf unzählbarem Ω wie ℝ nicht die Potenzmenge als σ-Algebra nutzen?
Rückseite
Das Lebesgue-Maß lässt sich nicht σ-additiv auf ganz P(ℝ) fortsetzen (Vitali-Mengen), daher nutzt man die Borel-σ-Algebra.