Mathematik Algebra – Homomorphismen und Isomorphismen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen G und H? · Wann nennt man einen Ho…
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14 KartenWas ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen G und H?
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Eine Abbildung φ: G → H mit φ(ab) = φ(a)φ(b) für alle a,b ∈ G.
Wann nennt man einen Homomorphismus Isomorphismus?
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Ein Homomorphismus ist ein Isomorphismus, wenn er bijektiv ist – also injektiv und surjektiv zugleich.
Wie ist der Kern eines Gruppenhomomorphismus φ: G → H definiert?
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kern(φ) = {g ∈ G | φ(g) = e_H}, also die Urbildmenge des neutralen Elements.
Was ist das Bild eines Homomorphismus φ: G → H?
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bild(φ) = {φ(g) | g ∈ G} ⊆ H, die Menge aller Funktionswerte in der Zielgruppe.
Welche algebraische Struktur hat der Kern eines Gruppenhomomorphismus?
Rückseite
Der Kern ist immer ein Normalteiler der Definitionsgruppe G und definiert die Faserstruktur.
Welche Struktur hat das Bild eines Gruppenhomomorphismus?
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Das Bild ist immer eine Untergruppe der Zielgruppe H und erbt die Gruppenstruktur.
Was besagt der Homomorphiesatz für Gruppen?
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Für φ: G → H gilt G/kern(φ) ≅ bild(φ) – der Faktorgruppe modulo Kern ist isomorph zum Bild.
Wie lautet der erste Isomorphiesatz für Ringe?
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Für Ringhomomorphismus φ: R → S gilt R/kern(φ) ≅ bild(φ) als Ringe, wobei kern(φ) ein Ideal ist.
Wann ist ein Gruppenhomomorphismus injektiv?
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Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist: kern(φ) = {e_G}.
Wann ist ein Homomorphismus surjektiv?
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Ein Homomorphismus ist surjektiv, wenn sein Bild die gesamte Zielmenge ergibt: bild(φ) = H.
Warum ist die Determinante det: GL(n,K) → K* ein Gruppenhomomorphismus?
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Weil det(AB) = det(A)·det(B) für alle invertierbaren Matrizen A,B gilt – die multiplikative Struktur bleibt erhalten.
Was macht die kanonische Projektion π: Z → Z/nZ zu einem Ringhomomorphismus?
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π(a+b) = π(a)+π(b) und π(ab) = π(a)π(b) gelten, und π(1) = 1 in Z/nZ.
Worin unterscheiden sich Gruppen- und Ringhomomorphismen?
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Ringhomomorphismen erhalten Addition und Multiplikation sowie das Einselement; Gruppenhomomorphismen nur die eine Verknüpfung.
Was ist die Automorphismengruppe Aut(G) einer Gruppe G?
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Die Menge aller Isomorphismen G → G mit Hintereinanderschaltung als Verknüpfung – sie bildet eine Gruppe.