Mathematik Stochastik – Diskrete Verteilungen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 13 Karten · von atrio. Beispiele: Welche Parameter kennzeichnen die Binomialverteilung B(n, p)? · Wie lautet der Erwart…
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13 KartenWelche Parameter kennzeichnen die Binomialverteilung B(n, p)?
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Die Binomialverteilung wird durch zwei Parameter bestimmt: n (Anzahl der unabhängigen Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch).
Wie lautet der Erwartungswert der Binomialverteilung B(n, p)?
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Der Erwartungswert beträgt E(X) = n · p. Er gibt die durchschnittliche Anzahl der Erfolge bei n Versuchen an.
Wie berechnet man die Varianz der Binomialverteilung B(n, p)?
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Die Varianz lautet Var(X) = n · p · (1 − p). Sie ist maximal bei p = 0,5 und nimmt zu den Rändern hin ab.
Wann approximiert die Poisson-Verteilung die Binomialverteilung?
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Bei großem n und kleinem p mit konstantem λ = n · p approximiert die Poisson(λ) die Binomialverteilung B(n, p) gut (Seltene-Ereignisse-Gesetz).
Welche Parameter hat die Poisson-Verteilung Pois(λ)?
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Die Poisson-Verteilung besitzt genau einen Parameter λ > 0, der gleichzeitig Erwartungswert und Varianz ist: E(X) = Var(X) = λ.
Was modelliert die geometrische Verteilung Geo(p)?
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Sie modelliert die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg in einer unendlichen Bernoulli-Kette mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Wie lauten Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung Geo(p)?
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E(X) = 1/p und Var(X) = (1−p)/p². Je kleiner p, desto länger dauert es im Mittel bis zum ersten Erfolg.
Wodurch unterscheidet sich die hypergeometrische Verteilung von der Binomialverteilung?
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Bei der hypergeometrischen Verteilung wird ohne Zurücklegen gezogen (endliche Population), bei der Binomialverteilung mit Zurücklegen (unendliche Population / konstantes p).
Welche drei Parameter benötigt die hypergeometrische Verteilung H(N, M, n)?
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N = Populationsgröße, M = Anzahl der Erfolgsobjekte in der Population, n = Stichprobenumfang (Ziehungen ohne Zurücklegen).
Wie lautet der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung H(N, M, n)?
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E(X) = n · M/N. Er entspricht dem der Binomialverteilung mit p = M/N, da die Ziehungen linear abhängig sind.
Was besagt der Korrekturfaktor bei der Varianz der hypergeometrischen Verteilung?
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Var(X) = n · M/N · (1−M/N) · (N−n)/(N−1). Der Faktor (N−n)/(N−1) < 1 verringert die Varianz gegenüber der Binomialverteilung (Endlichkeitseffekt).
Wann ist die Bernoulli-Verteilung Bernoulli(p) ein Spezialfall der Binomialverteilung?
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Die Bernoulli-Verteilung ist B(1, p) – also ein einzelner Bernoulli-Versuch. Sie nimmt nur die Werte 0 (Misserfolg) und 1 (Erfolg) an.
Was modelliert die negative Binomialverteilung NB(r, p)?
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Sie modelliert die Anzahl der Versuche bis zum r-ten Erfolg (r ∈ ℕ) in einer Bernoulli-Kette. Für r = 1 geht sie in die geometrische Verteilung über.