Mathematik Analysis – Integrale und Stammfunktionen
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15 KartenWas ist eine Stammfunktion einer Funktion f?
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Eine Funktion F, deren Ableitung F' gleich f ist. Man schreibt F'(x) = f(x) oder d/dx F(x) = f(x).
Wie lautet die Notation für das unbestimmte Integral?
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∫ f(x) dx = F(x) + C, wobei F eine Stammfunktion von f ist und C ∈ ℝ die Integrationskonstante.
Warum gehört die Integrationskonstante C zum unbestimmten Integral?
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Alle Funktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden, haben dieselbe Ableitung. Das unbestimmte Integral fasst alle Stammfunktionen zusammen.
Wie ist das bestimmte Integral ∫_a^b f(x) dx definiert?
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Als Differenz der Stammfunktion an den Grenzen: F(b) - F(a), wobei F' = f. Es berechnet den orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen.
Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
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Ableitung und Integration sind umgekehrte Operationen: d/dx ∫_a^x f(t) dt = f(x) und ∫_a^b F'(x) dx = F(b) - F(a).
Welche Rechenregel gilt für die Linearität des Integrals?
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∫ (α·f(x) + β·g(x)) dx = α∫ f(x) dx + β∫ g(x) dx für α, β ∈ ℝ. Konstanten können vorgezogen werden.
Wie lautet die Formel für partielle Integration?
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∫ u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) - ∫ u'(x)·v(x) dx. Man differenziert u und integriert v' – Wahl nach LIATE-Regel.
Wann wendet man die Substitutionsregel an?
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Bei verketteten Funktionen: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du mit u = g(x). Die innere Ableitung muss im Integranden auftauchen.
Wie integriert man Potenzfunktionen x^n (n ≠ -1)?
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∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C. Exponent um 1 erhöhen, durch neuen Exponenten teilen. Für n = -1 gilt ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
Was ist das Integral der Exponentialfunktion e^x?
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∫ e^x dx = e^x + C. Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung und Stammfunktion. Für a^x gilt ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C.
Wie lauten die Standardintegrale von sin(x) und cos(x)?
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∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, ∫ cos(x) dx = sin(x) + C. Bei Kettenregel: ∫ sin(ax) dx = -1/a cos(ax) + C.
Wie integriert man gebrochenrationale Funktionen?
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Partialbruchzerlegung in Summen von Brüchen mit linearen/quadratischen Nennern, dann Elementarintegrale (ln, arctan) anwenden.
Was sind uneigentliche Integrale?
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Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen oder Unstetigkeiten im Integranden. Definition über Grenzwerte: ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫_a^b f(x) dx.
Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse?
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Fläche = ∫_a^b |f(x)| dx. Bei Vorzeichenwechsel Nullstellen finden, Integral auf Teilintervalle aufsplitten und Beträge summieren.
Was besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung?
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Für stetige f auf [a,b] existiert ξ ∈ [a,b] mit ∫_a^b f(x) dx = f(ξ)·(b-a). Der Mittelwert wird vom Graphen angenommen.