Mathematik Geometrie – Vektorgeometrie im Raum
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Ortsvektor im R³? · Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Karten
14 KartenWas ist ein Ortsvektor im R³?
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Ein Ortsvektor verknüpft den Ursprung O(0|0|0) mit einem Punkt P(x|y|z) und beschreibt dessen Position im Raum durch die Koordinaten (x, y, z).
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?
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Das Skalarprodukt a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ergibt einen Skalar. Es entspricht |a|·|b|·cos(φ) und misst den Winkel φ zwischen den Vektoren.
Was drückt das Kreuzprodukt zweier Vektoren aus?
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Das Kreuzprodukt a×b liefert einen Vektor, der orthogonal auf a und b steht. Sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms.
Wann sind zwei Vektoren orthogonal?
Rückseite
Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null beträgt: a·b = 0. Der Winkel zwischen ihnen beträgt dann 90°.
Wie lautet die Parameterform einer Geraden im Raum?
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g: x = p + t·u mit Stützvektor p, Richtungsvektor u ≠ 0 und Parameter t ∈ ℝ. Jeder t-Wert liefert einen Punkt auf der Geraden.
Wie lautet die Normalengleichung einer Ebene?
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E: n·(x - p) = 0 oder n·x = d mit Normalenvektor n ≠ 0, Stützvektor p und d = n·p. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.
Wie prüft man, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?
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Setze die Koordinaten des Punkts in die Ebenengleichung ein. Erfüllt er die Gleichung (links = rechts), liegt der Punkt in der Ebene.
Wie berechnet man den Abstand Punkt-Ebene?
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Der Abstand von P zu E: n·x = d beträgt |n·p - d| / |n|. Dabei ist p der Ortsvektor von P und n der Normalenvektor der Ebene.
Was besagt das Spatprodukt über drei Vektoren?
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Das Spatprodukt (a×b)·c gibt das Volumen des von a, b, c aufgespannten Parallelepipeds an. Ist es null, liegen die Vektoren in einer Ebene (koplanar).
Wie bestimmt man den Schnittwinkel zweier Ebenen?
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Der Winkel φ der Ebenen ergibt sich aus ihren Normalenvektoren: cos(φ) = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|). Der Betrag garantiert den spitzen Winkel.
Wann schneiden sich zwei Geraden im Raum?
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Zwei Geraden schneiden sich, wenn das Gleichungssystem ihrer Parameterformen eine eindeutige Lösung für die Parameter liefert. Der Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen.
Wie wandelt man Parameterform in Koordinatenform um?
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Eliminiere die Parameter aus den drei Koordinatengleichungen. Für Ebenen: bilde zwei unabhängige Normalenvektoren über Kreuzprodukt der Richtungsvektoren.
Was bedeutet linear unabhängige Vektoren im R³?
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Vektoren sind linear unabhängig, wenn keine Linearkombination (außer der trivialen) den Nullvektor ergibt. Im R³ bilden maximal drei Vektoren eine Basis.
Wie berechnet man den Abstand zweier windschiefer Geraden?
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Der Abstand windschiefer Geraden g: x = a + t·u und h: x = b + s·v beträgt |(b-a)·(u×v)| / |u×v|. Der Verbindungsvektor wird auf den gemeinsamen Normalenvektor projiziert.