Mathematik Stochastik – Normalverteilung
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Welche zwei Parameter bestimmen eine Normalverteilung vollständig? · Wie lautet die D…
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15 KartenWelche zwei Parameter bestimmen eine Normalverteilung vollständig?
Rückseite
Der Erwartungswert μ (Lagenparameter) und die Standardabweichung σ (Streuparameter) bestimmen die Normalverteilung eindeutig.
Wie lautet die Dichtefunktion der Normalverteilung N(μ, σ²)?
Rückseite
f(x) = 1/(σ√2π) · e^(-(x-μ)²/(2σ²)) für x ∈ ℝ.
Was kennzeichnet die Standardnormalverteilung?
Rückseite
Sie hat Erwartungswert μ = 0 und Varianz σ² = 1 (also σ = 1); Notation: Z ~ N(0,1).
Wie transformiert man eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung?
Rückseite
Durch z-Transformation: Z = (X - μ)/σ; dann gilt Z ~ N(0,1) für X ~ N(μ,σ²).
Was besagt die 1-Sigma-Regel (68-%-Regel)?
Rückseite
Etwa 68,27 % der Werte liegen im Intervall [μ - σ, μ + σ] um den Erwartungswert.
Was besagt die 2-Sigma-Regel (95-%-Regel)?
Rückseite
Etwa 95,45 % der Werte liegen im Intervall [μ - 2σ, μ + 2σ]; oft gerundet auf 95 % für μ ± 1,96σ.
Was besagt die 3-Sigma-Regel (99,7-%-Regel)?
Rückseite
Etwa 99,73 % der Werte liegen im Intervall [μ - 3σ, μ + 3σ]; Werte außerhalb gelten als extrem unwahrscheinlich.
Welche Quantile der Standardnormalverteilung sind für 95%- und 97,5%-Konfidenz relevant?
Rückseite
z_0,95 ≈ 1,645 (einseitig) und z_0,975 ≈ 1,96 (zweiseitig, 95 %-Konfidenzintervall).
Wie nutzt man die Symmetrie der Standardnormalverteilung beim Tafelablesen?
Rückseite
Φ(-z) = 1 - Φ(z); negative Quantile werden über positive Werte der Tabelle bestimmt.
Wann darf man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren?
Rückseite
Bei großem n und p nicht zu nah an 0 oder 1; Faustregel: n·p ≥ 10 und n·(1-p) ≥ 10 (Laplace-de Moivre).
Was ist die Stetigkeitskorrektur bei der Normalapproximation der Binomialverteilung?
Rückseite
Diskrete Wahrscheinlichkeiten P(X = k) werden durch P(k - 0,5 < X < k + 0,5) approximiert.
Wie berechnet man Erwartungswert und Varianz der approximierenden Normalverteilung für B(n,p)?
Rückseite
μ = n·p und σ² = n·p·(1-p); die Normalverteilung N(n·p, n·p·(1-p)) approximiert B(n,p).
Welchen Zusammenhang stellt der Zentrale Grenzwertsatz zur Normalverteilung her?
Rückseite
Summen unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen konvergieren gegen eine Normalverteilung – Begründung für deren Universalität.
Wie liest man P(a ≤ X ≤ b) für X ~ N(μ,σ²) an der Standardnormalverteilungstafel ab?
Rückseite
Standardisiere a und b zu z-Werten, dann P = Φ(z_b) - Φ(z_a) mit Φ aus der N(0,1)-Tafel.
Worin unterscheidet sich die t-Verteilung von der Normalverteilung?
Rückseite
Die t-Verteilung hat dickere Ränder (höhere Kurtosis) und nähert sich der N(0,1) für große Freiheitsgrade an; verwendet bei unbekannter Varianz.