Mathematik Beweisführung – Vollständige Induktion
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Aus welchen zwei Teilen besteht ein Induktionsbeweis? · Was muss im Induktionsanfang …
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15 KartenAus welchen zwei Teilen besteht ein Induktionsbeweis?
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Aus dem Induktionsanfang (Basisfall) und dem Induktionsschritt (Übergang von n auf n+1).
Was muss im Induktionsanfang gezeigt werden?
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Die Aussage A(n) gilt für den Startwert, meist n = 0 oder n = 1.
Wie lautet die logische Struktur des Induktionsschritts?
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Man zeigt: Wenn A(k) für ein beliebiges k ≥ Startwert gilt, dann folgt A(k+1).
Was ist die Induktionsvoraussetzung?
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Die Annahme, dass die Aussage A(k) für ein festes, aber beliebiges k bereits bewiesen ist.
Wann verwendet man die starke (vollständige) Induktion?
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Wenn der Beweis von A(k+1) nicht nur A(k), sondern mehrere Vorgänger A(1), ..., A(k) benötigt.
Wie unterscheidet sich die starke Induktion formal vom Standardverfahren?
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Induktionsvoraussetzung: A(1) ∧ A(2) ∧ ... ∧ A(k) gelten → Zeige A(k+1).
Was ist ein häufiger Fehler beim Induktionsanfang?
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Den Startwert zu wählen, für den die Aussage gar nicht gilt (z. B. n=0 bei 1/n).
Wann ist ein Induktionsbeweis ungültig, obwohl Anfang und Schritt scheinbar stimmen?
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Wenn der Induktionsschritt für den Übergang vom Startwert zum nächsten Wert nicht funktioniert (Lücke bei k=Startwert).
Wie beweist man ∑_{i=1}^n i = n(n+1)/2 per Induktion?
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Anfang n=1: 1 = 1·2/2 ✓. Schritt: ∑_{i=1}^{k+1} i = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2.
Kann man Induktion auch für Aussagen über ganze Zahlen (ℤ) anwenden?
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Ja, durch zwei getrennte Induktionen: eine für n ≥ 0 vorwärts, eine für n ≤ 0 rückwärts.
Was bedeutet „Induktion über die Struktur“ (strukturelle Induktion)?
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Beweisverfahren für rekursiv definierte Mengen (z. B. Termbäume): Zeige Eigenschaft für Basiselemente und Erhalt bei Konstruktorschritten.
Wann scheitert ein Induktionsbeweis an der Induktionsvoraussetzung?
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Wenn die Voraussetzung stärker angenommen wird, als bewiesen wurde (z. B. A(k) für alle k statt für ein fixes k).
Wie formuliert man den Induktionsschritt sauber in einem Beweis?
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„Angenommen, A(k) gelte für ein k ≥ n₀. Dann folgt für k+1: ... [Rechnung unter Nutzung von A(k)] ... Also gilt A(k+1).“
Was ist der Unterschied zwischen mathematischer Induktion und wissenschaftlicher Induktion?
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Mathematische Induktion ist ein deduktiver Beweis (Allaussage), wissenschaftliche Induktion ein induktiver Schluss von Einzelfällen auf Allgemeines (nicht beweisend).
Wie behandelt man Aussagen, die erst ab n ≥ 5 gelten?
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Induktionsanfang bei n=5 wählen, Induktionsschritt für alle k ≥ 5 zeigen.