Mathematik Algebra – Gruppen und Untergruppen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Welche vier Axiome muss eine Gruppe (G, ∘) erfüllen? · Was unterscheidet eine abelsch…
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15 KartenWelche vier Axiome muss eine Gruppe (G, ∘) erfüllen?
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Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements, Existenz inverser Elemente für alle Gruppenmitglieder, Abgeschlossenheit der Verknüpfung.
Was unterscheidet eine abelsche Gruppe von einer allgemeinen Gruppe?
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Die Verknüpfung ist kommutativ: Für alle a, b ∈ G gilt a ∘ b = b ∘ a.
Wie wird die Ordnung einer endlichen Gruppe definiert?
Rückseite
Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist die Kardinalität ihrer Trägermenge, also die Anzahl aller Elemente.
Wann ist eine Teilmenge U ⊆ G eine Untergruppe von G?
Rückseite
Eine nicht-leere Teilmenge U ⊆ G ist Untergruppe, falls sie unter Verknüpfung und Inversenbildung abgeschlossen ist.
Welches Kriterium prüft effizient, ob U ≤ G eine Untergruppe ist?
Rückseite
Das Ein-Schritt-Kriterium: U ≠ ∅ und für alle a, b ∈ U gilt a ∘ b⁻¹ ∈ U.
Was ist eine zyklische Gruppe und wie wird sie erzeugt?
Rückseite
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn ein Erzeuger g ∈ G existiert mit G = ⟨g⟩ = {gⁿ | n ∈ ℤ}.
Wie berechnet man die Ordnung eines Elements g in einer Gruppe?
Rückseite
Die Ordnung ord(g) ist die kleinste positive ganze Zahl n mit gⁿ = e, falls existent.
Was besagt der Satz von Lagrange für endliche Gruppen?
Rückseite
Für endliche Gruppen teilt die Ordnung jeder Untergruppe die Ordnung der Gesamtgruppe: |U| ist Teiler von |G|.
Wann ist eine Untergruppe N ein Normalteiler von G?
Rückseite
N ◁ G gilt, wenn für alle g ∈ G und n ∈ N das Konjugierte gng⁻¹ wieder in N liegt.
Wie definiert man die Faktorgruppe G/N für einen Normalteiler N?
Rückseite
Die Faktorgruppe besteht aus den Nebenklassen gN mit Verknüpfung (gN)(hN) = (gh)N, wohldefiniert durch Normalteilereigenschaft.
Was ist ein Gruppenhomomorphismus φ: G → H?
Rückseite
Eine Abbildung φ mit φ(g₁ ∘ g₂) = φ(g₁) ⋆ φ(g₂) für alle g₁,g₂ ∈ G, wobei ⋆ die Verknüpfung in H ist.
Was ist der Kern eines Homomorphismus und welche Eigenschaft hat er?
Rückseite
Der Kern ker(φ) = {g ∈ G | φ(g) = e_H} ist immer ein Normalteiler von G.
Welche Struktur hat die symmetrische Gruppe S₃?
Rückseite
S₃ hat Ordnung 6, ist nicht-abelsch, enthält drei Transpositionen und zwei 3-Zyklen sowie die Identität.
Was besagt der erste Isomorphiesatz für Gruppen?
Rückseite
Für Homomorphismus φ: G → H gilt G/ker(φ) ≅ im(φ); Faktorgruppe modulo Kern ist isomorph zum Bild.
Wie hängen zyklische Gruppen und ihre Untergruppen zusammen?
Rückseite
Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch; für jeden Teiler d von |G| existiert genau eine Untergruppe der Ordnung d.