Mathematik Lineare Algebra – Orthogonalität und Orthonormalbasen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Wann heißen zwei Vektoren in einem Skalarproduktraum orthogonal? · Was ist eine ortho…
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15 KartenWann heißen zwei Vektoren in einem Skalarproduktraum orthogonal?
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Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Das verallgemeinert den Begriff der Senkrechtheit auf abstrakte Vektorräume.
Was ist eine orthogonale Menge von Vektoren?
Rückseite
Eine Menge von Vektoren heißt orthogonal, wenn je zwei verschiedene Vektoren der Menge orthogonal zueinander sind. Der Nullvektor darf nicht enthalten sein.
Wann heißt eine orthogonale Menge orthonormal?
Rückseite
Eine orthogonale Menge heißt orthonormal, wenn zusätzlich jeder Vektor die Norm 1 hat – also Einheitsvektoren sind.
Was besagt der Satz von Pythagoras im Skalarproduktraum?
Rückseite
Für orthogonale Vektoren u, v gilt: ||u + v||² = ||u||² + ||v||². Die Norm des Summenvektors quadratisch addiert sich.
Wie berechnet man die orthogonale Projektion eines Vektors v auf einen von u aufgespannten Unterraum?
Rückseite
Die Projektion ist (⟨v,u⟩/⟨u,u⟩) · u. Der Koeffizient ist das Skalarprodukt von v und u geteilt durch die quadrierte Norm von u.
Was ist das orthogonale Komplement eines Unterraums U?
Rückseite
Das orthogonale Komplement U⊥ besteht aus allen Vektoren, die orthogonal zu jedem Vektor aus U sind. Es ist selbst ein Unterraum.
Wie lautet der Dimensionssatz für orthogonale Komplemente in endlichdimensionalen Räumen?
Rückseite
Für einen Unterraum U gilt: dim(U) + dim(U⊥) = dim(V). Der Raum zerfällt in die direkte Summe U ⊕ U⊥.
Was besagt der Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess?
Rückseite
Aus einer linear unabhängigen Menge lässt sich durch sukzessive Subtraktion der Projektionen eine orthogonale (und nach Normalierung orthonormale) Basis des aufgespannten Unterraums konstruieren.
Wie berechnet man den i-ten Vektor im Gram-Schmidt-Verfahren rekursiv?
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u_i = v_i - Σ_{j=1}^{i-1} (⟨v_i,u_j⟩/⟨u_j,u_j⟩) u_j. Man subtrahiert alle Projektionen auf die vorherigen orthogonalen Vektoren.
Warum ist eine Orthonormalbasis für Koordinatenberechnungen vorteilhaft?
Rückseite
Die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Orthonormalbasis sind einfach die Skalarprodukte mit den Basisvektoren: x_i = ⟨v, e_i⟩. Kein Gleichungssystem nötig.
Was ist die QR-Zerlegung einer Matrix mit linear unabhängigen Spalten?
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Eine Matrix A = QR, wobei Q orthonormale Spalten hat (QᵀQ = I) und R eine obere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen ist. Entsteht durch Gram-Schmidt an den Spalten.
Wie löst man ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit QR-Zerlegung numerisch stabil?
Rückseite
Man löst Rx = Qᵀb durch Rückwärtseinsetzen. Die Orthogonalität von Q vermeidet Fehlerverstärkung bei schlecht konditionierten Matrizen.
Was ist die beste Approximation eines Vektors v in einem Unterraum U bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm?
Rückseite
Die orthogonale Projektion von v auf U ist der eindeutig bestimmte Vektor in U mit minimaler Distanz zu v. Der Fehlervektor liegt in U⊥.
Wann ist eine quadratische Matrix orthogonal?
Rückseite
Eine Matrix Q heißt orthogonal, wenn QᵀQ = QQᵀ = I gilt. Ihre Spalten (und Zeilen) bilden eine Orthonormalbasis von ℝⁿ. Der Determinante ist ±1.
Was besagt der Satz von Bessel für Orthonormalsysteme?
Rückseite
Für jede Orthonormalbasis {e_i} und jeden Vektor v gilt: Σ |⟨v, e_i⟩|² ≤ ||v||². Gleichheit gilt genau dann, wenn das System vollständig ist (Parseval-Gleichung).