Mathematik Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein lineares Gleichungssystem? · Welche drei Lösungsmengen-Typen sind möglich?
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15 KartenWas ist ein lineares Gleichungssystem?
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Eine endliche Menge linearer Gleichungen in denselben Variablen, die simultan erfüllt sein müssen.
Welche drei Lösungsmengen-Typen sind möglich?
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Keine Lösung (inkonsistent), genau eine Lösung (eindeutig) oder unendlich viele Lösungen (Parameterfamilie).
Was unterscheidet Koeffizientenmatrix von erweiterter Matrix?
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Die Koeffizientenmatrix enthält nur die Variablenkoeffizienten, die erweiterte Matrix zusätzlich die rechte Seite als letzte Spalte.
Welche elementaren Zeilenumformungen erhalten die Lösungsmenge?
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Zeilenvertauschung, Multiplikation einer Zeile mit Skalar ≠ 0, Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
Wann liegt eine Matrix in Zeilenstufenform vor?
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Nullzeilen stehen unten, der erste nicht-null Eintrag (Pivot) jeder Zeile steht rechts vom Pivot der Zeile darüber.
Wie ist der Rang einer Matrix definiert?
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Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten), gleich der Anzahl der Pivots in Zeilenstufenform.
Was besagt der Rangsatz (Satz von Rouché-Capelli)?
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Ein LGS ist genau dann lösbar, wenn Rang(Koeffizientenmatrix) = Rang(erweiterte Matrix) gilt.
Wann liefert das Gauß-Verfahren eine eindeutige Lösung?
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Wenn Rang = Anzahl der Unbekannten und das System konsistent ist – dann hat jede Variable einen festen Wert.
Wie liest man die Lösungsmenge aus der reduzierten Zeilenstufenform ab?
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Basvariablen werden durch Pivotspalten bestimmt, Freie Variablen erhalten Parameter – ergibt Parameterdarstellung der Lösung.
Wann ist die Cramersche Regel anwendbar?
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Nur bei quadratischen Koeffizientenmatrizen (n Gleichungen, n Unbekannte) mit Determinante ≠ 0.
Was charakterisiert ein homogenes lineares Gleichungssystem?
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Rechte Seite ist der Nullvektor – hat immer mindestens die triviale Lösung, nicht-triviale Lösungen existieren genau bei Rang < n.
Wie setzt sich die allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems zusammen?
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Partikuläre Lösung des inhomogenen Systems plus Linearkombination der Lösungen des zugehörigen homogenen Systems.
Was bedeutet lineare Unabhängigkeit der Spalten der Koeffizientenmatrix?
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Keine Spalte lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen – Rang gleich Spaltenzahl, impliziert höchstens eine Lösung.
Wann liegt ein überdeterminiertes System vor und was folgt?
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Mehr Gleichungen als Unbekannte – oft inkonsistent, lösbar nur wenn rechte Seite im Spaltenraum liegt.
Wie erkennt man an der Determinante die Lösbarkeit eines quadratischen Systems?
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Determinante ≠ 0 ⇔ eindeutig lösbar; Determinante = 0 ⇔ entweder keine oder unendlich viele Lösungen.