Mathematik Lineare Algebra – Lineare Abbildungen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Wann ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen linear? · Wie erhält man die Abbildungs…
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14 KartenWann ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen linear?
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Eine Abbildung f: V → W ist linear, wenn f(u+v)=f(u)+f(v) und f(λv)=λf(v) für alle u,v∈V, λ∈K gilt (Additivität und Homogenität).
Wie erhält man die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung bezüglich gegebener Basen?
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Die j-te Spalte der Matrix sind die Koordinaten des Bildes des j-ten Basisvektors des Definitionsraums bezüglich der Basis des Zielraums.
Was ist der Kern einer linearen Abbildung und welche Eigenschaft hat er?
Rückseite
Der Kern ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0} ist ein Untervektorraum des Definitionsraums und misst die Injektivitätsabweichung.
Was ist das Bild einer linearen Abbildung und welche Eigenschaft hat es?
Rückseite
Das Bild im(f) = {f(v) | v ∈ V} ist ein Untervektorraum des Zielraums und besteht aus allen erreichbaren Vektoren.
Was besagt der Rangsatz (Dimensionsformel) für lineare Abbildungen?
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Für f: V → W mit dim V < ∞ gilt: dim V = dim ker(f) + dim im(f) = Defekt + Rang.
Wann ist eine lineare Abbildung injektiv und wie prüft man das?
Rückseite
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern nur den Nullvektor enthält: ker(f) = {0}.
Wann ist eine lineare Abbildung surjektiv und wie prüft man das?
Rückseite
Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn ihr Bild dem gesamten Zielraum entspricht: im(f) = W.
Was ist eine Isomorphie und wann sind zwei Vektorräume isomorph?
Rückseite
Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphie. Vektorräume sind isomorph gdw. sie dieselbe endliche Dimension haben.
Wie verhält sich die Matrixdarstellung bei der Komposition zweier linearer Abbildungen?
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Die Matrix der Komposition g∘f ist das Matrixprodukt der Abbildungsmatrizen: M_B^D(g∘f) = M_C^D(g) · M_B^C(f).
Wie ändert sich die Abbildungsmatrix bei Basiswechsel im Definitions- und Zielraum?
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Bei Basiswechsel transformiert sich die Matrix zu A' = T⁻¹ A S, wobei S, T die Basistransformationsmatrizen sind (Äquivalenz).
Was sind Endomorphismen und wann sind zwei Matrizen ähnlich?
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Endomorphismen sind lineare Abbildungen V → V. Zwei Matrizen sind ähnlich, wenn sie denselben Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen darstellen: A' = S⁻¹AS.
Was sind Eigenvektoren und Eigenwerte einer linearen Abbildung?
Rückseite
Ein Eigenvektor v≠0 erfüllt f(v)=λv mit λ∈K. λ heißt Eigenwert. Eigenvektoren werden nur gestreckt, nicht ihre Richtung geändert.
Was charakterisiert eine Projektion (Projektor) als lineare Abbildung?
Rückseite
Eine Projektion erfüllt P² = P (idempotent). Sie bildet V auf einen Unterraum U ab und lässt Vektoren in U fest.
Wie hängen der Rang einer Matrix und der Rang der zugehörigen linearen Abbildung zusammen?
Rückseite
Der Rang der Abbildungsmatrix gleich der Dimension des Bildes der linearen Abbildung: rg(A) = dim im(f) = Rang(f).