Mathematik Lineare Algebra – Vektorräume und Basen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Vektorraum über einem Körper K? · Welche Bedingung muss eine Teilmenge U …
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15 KartenWas ist ein Vektorraum über einem Körper K?
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Eine Menge V mit Addition und Skalarmultiplikation, die die acht Vektorraumaxiome erfüllt: Assoziativität, Kommutativität, Neutrales, Inverses, Distributivität, Verträglichkeit mit Körpermultiplikation.
Welche Bedingung muss eine Teilmenge U ⊆ V erfüllen, um Untervektorraum zu sein?
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U muss nicht-leer sein und für alle u,v ∈ U und λ ∈ K gelten: u+v ∈ U und λ·u ∈ U (Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation).
Wann heißen Vektoren v₁,…,vₙ linear unabhängig?
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Wenn aus λ₁v₁+…+λₙvₙ = 0 stets folgt: λ₁ = … = λₙ = 0. Kein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.
Was ist der Spann (lineare Hülle) einer Menge M ⊆ V?
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Die Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus M. Er ist der kleinste Untervektorraum, der M enthält.
Was ist eine Basis eines Vektorraums V?
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Eine linear unabhängige Teilmenge B ⊆ V, die V aufspannt. Jeder Vektor v ∈ V lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
Wie ist die Dimension eines Vektorraums definiert?
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Die Anzahl der Vektoren in einer Basis von V. Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Kardinalität (Dimensionssatz).
Was besagt der Dimensionssatz für endlichdimensionale Vektorräume?
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Jede zwei Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums haben die gleiche Anzahl an Elementen. Die Dimension ist wohldefiniert.
Wie prüfst du, ob eine Menge Vektoren eine Basis von ℝⁿ ist?
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Bilde eine Matrix mit den Vektoren als Spalten. Sie ist Basis gdw. die Matrix Rang n hat (determinant ungleich 0 bei quadratischer Matrix).
Was ist der Standardbasis von ℝⁿ?
Rückseite
Die Kanonischen Einheitsvektoren e₁=(1,0,…,0), …, eₙ=(0,…,0,1). Sie bilden eine Basis, Dimension ist n.
Was besagt der Basisaustauschsatz (Steinitz)?
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In einem endlichdimensionalen Vektorraum lässt sich jede linear unabhängige Familie zu einer Basis erweitern; jede erzeugende Familie enthält eine Basis.
Wie berechnest du Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis B?
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Löse das lineare Gleichungssystem: Vektor = Summe λᵢ·bᵢ. Die Koeffizienten λᵢ sind die Koordinaten (oft über Inverse der Basismatrix).
Was ist ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen V und W?
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Eine lineare, bijektive Abbildung φ: V → W. Isomorphe Vektorräume haben dieselbe Dimension und sind strukturell identisch.
Wann sind zwei endlichdimensionale Vektorräume über K isomorph?
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Gdw. sie dieselbe Dimension haben. Dann existiert eine bijektive lineare Abbildung zwischen ihnen.
Was ist der Rang einer linearen Abbildung f: V → W?
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Die Dimension des Bildes im(f) ⊆ W. Er entspricht der Anzahl linear unabhängiger Spalten der Abbildungsmatrix.
Was besagt der Dimensionssatz (Rang-Nullitätssatz) für lineare Abbildungen?
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dim(V) = Rang(f) + dim(Kern(f)). Die Dimension des Definitionsraums teilt sich in Bilddimension und Kern-Dimension auf.