Mathematik Numerik – Numerische Integration
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist das Grundprinzip der numerischen Integration (Quadratur)? · Wie lautet die zu…
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14 KartenWas ist das Grundprinzip der numerischen Integration (Quadratur)?
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Das Integral wird durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten an Stützstellen approximiert: ∫f(x)dx ≈ Σ wᵢ f(xᵢ).
Wie lautet die zusammengesetzte Trapezregel für n Teilintervalle?
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Tₙ = h/2 [f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)] mit h = (b-a)/n und xᵢ = a + ih für i=1,...,n-1.
Welchen Konvergenzordnung hat die zusammengesetzte Trapezregel für hinreichend glatte Funktionen?
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Die Trapezregel konvergiert mit Ordnung 2: Der Fehler verhält sich wie O(h²) beziehungsweise O(1/n²).
Wie wird die Simpson-Regel aus der quadratischen Interpolation hergeleitet?
Rückseite
Auf jedem Doppelintervall [x₂ᵢ, x₂ᵢ₊₂] wird f durch ein Parabelbogen interpoliert, was die Formel S = h/3 [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + ... + fₙ] ergibt.
Warum erreicht die Simpson-Regel Ordnung 4 obwohl nur quadratische Interpolation verwendet wird?
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Der Fehlerterm verschwindet für Polynome bis Grad 3 durch Symmetrie der Stützstellen – die Regel ist exakt für kubische Polynome.
Was charakterisiert Gauß-Quadraturformeln gegenüber Newton-Cotes-Formeln?
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Gauß-Quadratur wählt Stützstellen und Gewichte optimal, sodass mit n Knoten Polynome bis Grad 2n-1 exakt integriert werden (maximaler Polynomgrad).
Welche Stützstellen und Gewichte verwendet die Gauß-Legendre-Quadratur mit 2 Knoten auf [-1,1]?
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Stützstellen: ±1/√3, Gewichte: beide 1. Die Formel lautet: f(-1/√3) + f(1/√3).
Wie transformiert man ein Integral auf [a,b] auf das Referenzintervall [-1,1] für Gauß-Quadratur?
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Substitution x = (b+a)/2 + (b-a)/2 · t, dann ∫ₐᵇ f(x)dx = (b-a)/2 ∫₋₁¹ f((b+a)/2 + (b-a)/2 t) dt.
Was ist der Hauptvorteil adaptiver Quadraturverfahren?
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Sie verteilen Rechenaufwand automatisch: feine Unterteilung dort, wo f stark variiert, grobe dort, wo f glatt ist – effizienter bei Singularitäten oder steilen Bereichen.
Wie funktioniert die Romberg-Integration prinzipiell?
Rückseite
Richardson-Extrapolation auf der Trapezregel: T(h), T(h/2), T(h/4)... werden zu höheren Ordnungen extrapoliert (T₂,₁ → S, S₂,₁ → B, ...).
Was besagt der Fehlerterm der interpolatorischen Quadratur mit n Knoten?
Rückseite
Fehler = f⁽ⁿ⁾(ξ)/n! ∫ ω(x)dx mit ω(x) = Π(x-xᵢ). Für Gauß-Quadratur verschwindet ∫ω(x)dx für Polynome bis Grad n-1.
Wann ist die Mittelpunktsregel der Trapezregel überlegen?
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Bei Funktionen mit starker Krümmung an den Randpunkten oder wenn Randwerte nicht verfügbar sind – gleicher Konvergenzordnung aber oft kleinerer Fehlerkonstante.
Was versteht man unter dem Grad der Genauigkeit (Degree of Precision) einer Quadraturformel?
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Das größte Integer k, sodass die Formel alle Polynome bis Grad k exakt integriert. Gauß mit n Knoten hat Grad 2n-1.
Warum sind Newton-Cotes-Formeln hoher Ordnung (n > 8) in der Praxis problematisch?
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Runge-Phänomen: Gleichverteilte Stützstellen führen zu stark oszillierenden Interpolationspolynomen und negativen Gewichten – numerische Instabilität.