Mathematik Lineare Algebra – Quadratische Formen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine quadratische Form über einem Vektorraum V? · Welche Matrix gehört zu ein…
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15 KartenWas ist eine quadratische Form über einem Vektorraum V?
Rückseite
Eine Abbildung Q: V → K, die durch Q(v) = vᵀAv mit einer symmetrischen Matrix A dargestellt wird und Q(λv) = λ²Q(v) erfüllt.
Welche Matrix gehört zu einer quadratischen Form Q(x) = xᵀAx?
Rückseite
Eine symmetrische Matrix A ∈ Kⁿˣⁿ, deren Einträge aᵢⱼ die Koeffizienten der Monome xᵢxⱼ bestimmen (Diagonale: xᵢ², Nebendiagonale: 2xᵢxⱼ).
Wann heißt eine quadratische Form positiv definit?
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Wenn Q(v) > 0 für alle v ≠ 0 gilt; äquivalent dazu sind alle Eigenwerte der Matrix A streng positiv.
Wie lautet das Silvestersche Trägheitssatz für reelle quadratische Formen?
Rückseite
Die Anzahlen positiver, negativer und null Eigenwerte (Signatur) sind invariant unter Basistransformationen; sie bestimmen die Definitheit eindeutig.
Was besagt der Hauptachsentransformationssatz?
Rückseite
Jede reelle symmetrische Matrix A lässt sich durch eine orthogonale Matrix S diagonalisieren: SᵀAS = D mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Wie berechnet man die Matrix A zur quadratischen Form Q(x,y,z) = 2x² + 4xy + 3y² + z²?
Rückseite
Diagonaleinträge sind Koeffizienten der Quadrate (2, 3, 1), Nebendiagonaleinträge halbierte Mischkoeffizienten (2, 0, 0); A = [[2,2,0],[2,3,0],[0,0,1]].
Was ist der Rang einer quadratischen Form?
Rückseite
Der Rang der zugehörigen Matrix A; er entspricht der Anzahl nicht-verschwindender Eigenwerte und der Dimension des Bildes der zugehörigen Bilinearform.
Wie erkennt man an den Hauptminoren die positive Definitheit?
Rückseite
Alle führenden Hauptminoren der Matrix A müssen streng positiv sein (Sylvester-Kriterium); bei negativer Definitheit alternieren die Vorzeichen beginnend mit negativ.
Was ist der Unterschied zwischen positiv definit und positiv semidefinit?
Rückseite
Positiv definit: Q(v) > 0 ∀ v ≠ 0 (alle Eigenwerte > 0). Positiv semidefinit: Q(v) ≥ 0 ∀ v (alle Eigenwerte ≥ 0, mindestens einer = 0).
Wie hängen quadratische Forms und symmetrische Bilinearformen zusammen?
Rückseite
Jede quadratische Form Q definiert über Polarisation B(v,w) = ½[Q(v+w) - Q(v) - Q(w)] eine symmetrische Bilinearform mit Q(v) = B(v,v).
Was bedeutet Kongruenz zweier Matrizen im Kontext quadratischer Formen?
Rückseite
A und B heißen kongruent, falls ∃ invertierbare S mit B = SᵀAS; sie repräsentieren dieselbe quadratische Form in verschiedenen Basen.
Wie transformiert man eine quadratische Form in Hauptachsengestalt?
Rückseite
Eigenwerte und orthonormale Eigenvekteln von A berechnen; die Transformationsmatrix S aus Eigenvekteln liefert SᵀAS = diag(λ₁,...,λₙ).
Wann ist eine quadratische Form indefinit?
Rückseite
Wenn sie sowohl positive als auch negative Werte annimmt; die Matrix A hat mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert.
Was ist die Signatur einer quadratischen Form?
Rückseite
Das Tripel (p, q, r) mit p = Anzahl positiver, q = Anzahl negativer, r = Anzahl null Eigenwerte der Matrix A; p+q = Rang.
Wie wendet man quadratische Formen bei Extremwertproblemen an?
Rückseite
Die Hesse-Matrix einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion ist die Matrix der zugehörigen quadratischen Form; ihre Definitheit entscheidet über Minimum, Maximum oder Sattelpunkt.