Physik Quantenmechanik – Operator und Observable
Karteikarten zum Thema „Naturwissenschaften“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Observable in der Quantenmechanik? · Warum müssen Observables du…
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15 KartenWas ist ein Observable in der Quantenmechanik?
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Ein Observable ist eine physikalisch messbare Größe, die mathematisch durch einen hermiteschen Operator dargestellt wird.
Warum müssen Observables durch hermitesche Operatoren beschrieben werden?
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Hermitesche Operatoren haben reelle Eigenwerte, die den physikalisch möglichen Messergebnissen entsprechen.
Was besagt die Eigenwertgleichung eines Operators?
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A|ψ⟩ = a|ψ⟩: Der Operator A wirkt auf den Eigenzustand |ψ⟩ und liefert den Eigenwert a als mögliches Messergebnis.
Was bedeutet es, wenn zwei Operatoren kommutieren?
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Der Kommutator [A, B] = AB − BA verschwindet; die Operatoren besitzen gemeinsame Eigenfunktionen und die zugehörigen Observables sind gleichzeitig messbar.
Was besagt die kanonische Kommutatorrelation für Ort und Impuls?
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[x̂, p̂] = iℏ: Ort- und Impulsoperator kommutieren nicht, was die Heisenbergsche Unschärferelation fundamental begründet.
Wie wird der Impulsoperator in der Ortsdarstellung geschrieben?
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p̂ = −iℏ ∇ (im dreidimensionalen Raum) bzw. p̂ = −iℏ ∂/∂x (eindimensional).
Was ist ein Eigenzustand eines Operators?
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Ein Zustand, der bei Anwendung des Operators unverändert bleibt bis auf den Faktor des zugehörigen Eigenwerts.
Wann sind zwei Observables verträglich?
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Wenn ihre Operatoren kommutieren; dann existiert eine gemeinsame Eigenbasis und beide Größen können simultan scharf gemessen werden.
Was beschreibt der Erwartungswert ⟨A⟩ eines Operators?
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Der Mittelwert vieler Messungen des Observables A im Zustand |ψ⟩, berechnet als ⟨ψ|A|ψ⟩.
Was ist die Spektralzerlegung eines hermiteschen Operators?
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A = Σ a_n |a_n⟩⟨a_n|: Der Operator wird als Summe über seine Eigenwerte a_n und Projektoren auf die Eigenzustände |a_n⟩ dargestellt.
Was besagt das Messpostulat für diskrete Spektren?
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Bei Messung von A im Zustand |ψ⟩ = Σ c_n |a_n⟩ wird der Eigenwert a_n mit Wahrscheinlichkeit |c_n|² erhalten, der Zustand kollabiert auf |a_n⟩.
Wie lautet die Unschärferelation für zwei beliebige Observables A und B?
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ΔA ΔB ≥ ½ |⟨[A, B]⟩|: Das Produkt der Standardabweichungen ist durch den Erwartungswert ihres Kommutators nach unten begrenzt.
Was ist der Hamilton-Operator und welche Rolle spielt er?
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Der Hamilton-Operator Ĥ entspricht der Gesamtenergie; seine Eigenwerte sind die Energieniveaus, seine Zeitentwicklung steuert die Dynamik über die Schrödinger-Gleichung.
Was bedeutet Entartung bei Eigenwerten eines Operators?
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Mehrere linear unabhängige Eigenzustände gehören zum selben Eigenwert; der Eigenraum hat Dimension > 1.
Wie wirkt der Paritätsoperator auf eine Ortswellenfunktion?
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P̂ ψ(x) = ψ(−x): Er spiegelt das Koordinatensystem am Ursprung; Eigenwerte sind +1 (gerade) und −1 (ungerade).