Mathematik Stochastik – Zentraler Grenzwertsatz
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15 KartenWas besagt der Zentrale Grenzwertsatz für Stichprobenmittelwerte?
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Bei unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlicher Varianz konvergiert die Verteilung des arithmetischen Mittels gegen eine Normalverteilung, wenn die Stichprobengröße gegen unendlich strebt.
Welche Voraussetzungen müssen für den klassischen Zentralen Grenzwertsatz erfüllt sein?
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Unabhängigkeit der Beobachtungen, identische Verteilung (i.i.d.), endlicher Erwartungswert μ und endliche Varianz σ² der Grundverteilung.
Wie lautet die Erwartungswert und Varianz der Stichprobenmittelverteilung bei endlichem n?
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E(X̄) = μ und Var(X̄) = σ²/n. Der Standardfehler beträgt σ/√n.
Was ist der Standardfehler des Mittelwerts und wie wird er berechnet?
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Der Standardfehler ist die Standardabweichung der Stichprobenmittelverteilung: σ_X̄ = σ/√n. Er quantifiziert die Streuung der Stichprobenmittelwerte um den Populationsmittelwert.
Ab welcher Stichprobengröße gilt die Normalapproximation meist als ausreichend?
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Als Faustregel gilt n ≥ 30. Bei symmetrischen Grundverteilungen reicht oft n ≥ 15, bei stark schiefen Verteilungen sind n ≥ 50 oder mehr nötig.
Wie standardisiert man den Stichprobenmittelwert zur Standardnormalverteilung?
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Z = (X̄ - μ) / (σ/√n) ~ N(0,1) für große n. Bei unbekannter σ verwendet man den t-Statistik mit Stichprobenstandardabweichung s.
Wann verwendet man die t-Verteilung statt der Normalverteilung für Mittelwerte?
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Wenn die Populationsvarianz σ² unbekannt ist und durch die Stichprobenvarianz s² geschätzt wird – besonders bei kleinen Stichproben (n < 30) aus normalverteilten Populationen.
Wie berechnet man ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei großer Stichprobe?
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X̄ ± 1,96 · (σ/√n) bei bekannter σ, andernfalls X̄ ± 1,96 · (s/√n). Das Intervall deckt den wahren μ in 95 % aller Wiederholungen ab.
Was ist der Unterschied zwischen dem Gesetz der großen Zahlen und dem Zentralen Grenzwertsatz?
Rückseite
Das Gesetz der großen Zahlen besagt Konvergenz des Stichprobenmittels gegen den Erwartungswert (Punkt). Der Zentrale Grenzwertsatz beschreibt die Verteilungsform der Abweichung (Fluktuation) um diesen Wert.
Gilt der Zentrale Grenzwertsatz auch für Summen von Zufallsvariablen?
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Ja, da die Summe S_n = n·X̄ ist. S_n ist annähernd N(nμ, nσ²) verteilt. Die Standardisierung lautet Z = (S_n - nμ) / (σ√n).
Was besagt der Lindeberg-Lévy-Zentrale-Grenzwertsatz konkret?
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Für i.i.d. Zufallsvariablen mit E(X_i)=μ, Var(X_i)=σ²<∞ gilt: √n(X̄_n - μ)/σ konvergiert in Verteilung gegen N(0,1). Das ist die präzise mathematische Formulierung.
Wie wirkt sich der Zentrale Grenzwertsatz auf Hypothesentests für Mittelwerte aus?
Rückseite
Er rechtfertigt die Verwendung des z-Tests (bzw. t-Tests) für H₀: μ = μ₀, da der Teststatistik unter H₀ annähernd standardnormal (bzw. t-verteilt) ist.
Warum versagt der Zentrale Grenzwertsatz bei der Cauchy-Verteilung?
Rückseite
Die Cauchy-Verteilung hat keinen endlichen Erwartungswert und keine endliche Varianz. Damit sind die Voraussetzungen (endliche Momente) verletzt, der Satz ist nicht anwendbar.
Was versteht man unter der Berry-Esseen-Abschätzung?
Rückseite
Sie quantifiziert die Konvergenzgeschwindigkeit: Der maximale Abstand zwischen der Verteilungsfunktion von √n(X̄-μ)/σ und Φ(z) ist durch C·ρ/σ³√n nach oben beschränkt (ρ = dritter Zentraler Moment).
Wie wendet man den Zentralen Grenzwertsatz bei Proportionen (Anteile) an?
Rückseite
Ein Anteil p̄ ist ein Mittelwert von Bernoulli-Variablen (0/1). Für n·p ≥ 10 und n·(1-p) ≥ 10 gilt p̄ ~ N(p, p(1-p)/n) approximativ.