Mathematik Lineare Algebra – Basistransformation
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine Basistransformation in einem Vektorraum? · Wie wird die Übergangsmatrix …
Karten
15 KartenWas ist eine Basistransformation in einem Vektorraum?
Rückseite
Ein Wechsel von einer Basis B zu einer anderen Basis B' desselben Vektorraums, wobei die Koordinaten eines Vektors bezüglich der neuen Basis durch Multiplikation mit der Übergangsmatrix ermittelt werden.
Wie wird die Übergangsmatrix von Basis B zur Basis B' konstruiert?
Rückseite
Die Spalten der Übergangsmatrix T_{B→B'} sind die Koordinaten der alten Basisvektoren b_i bezüglich der neuen Basis B'.
Wie transformiert man Koordinaten eines Vektors von Basis B in Basis B'?
Rückseite
x_{B'} = T_{B→B'} · x_B, wobei x_B der Koordinatenvektor bezüglich B und T_{B→B'} die Übergangsmatrix ist.
Welche Beziehung besteht zwischen T_{B→B'} und T_{B'→B}?
Rückseite
T_{B'→B} ist die inverse Matrix von T_{B→B'}, also T_{B'→B} = (T_{B→B'})^{-1}.
Wie ändert sich die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung φ bei Basistransformation?
Rückseite
A_{B'} = T_{B→B'} · A_B · T_{B'→B}, wobei A_B und A_{B'} die Darstellungsmatrizen bezüglich der Basen B und B' sind.
Wann heißen zwei Matrizen ähnlich?
Rückseite
Zwei Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt mit B = S^{-1} · A · S. Dies bedeutet, sie stellen dieselbe lineare Abbildung bezüglich verschiedener Basen dar.
Was ist die Übergangsmatrix von einer beliebigen Basis B zur Standardbasis E in ℝⁿ?
Rückseite
Die Übergangsmatrix T_{B→E} hat die Basisvektoren von B als Spaltenvektoren, da ihre Koordinaten bezüglich E genau die Vektoren selbst sind.
Wie berechnet man die Koordinaten eines Vektors bezüglich einer neuen Basis B', wenn man die Koordinaten bezüglich der Standardbasis kennt?
Rückseite
x_{B'} = (T_{B'→E})^{-1} · x_E, wobei T_{B'→E} die Matrix mit den B'-Basisvektoren als Spalten ist.
Was besagt der Basistransformationssatz für lineare Abbildungen?
Rückseite
Die Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen sind zueinander ähnlich. Die Ähnlichkeitsmatrix ist die Übergangsmatrix der Basen.
Welche Eigenschaft haben Übergangsmatrizen zwischen orthogonalen Basen?
Rückseite
Übergangsmatrizen zwischen orthogonalen (bzw. orthonormalen) Basen sind orthogonale Matrizen, ihre Inverse stimmt mit der Transponierten überein: T^{-1} = T^T.
Wie wirkt sich eine Basistransformation auf die Eigenwerte einer Darstellungsmatrix aus?
Rückseite
Eigenwerte bleiben bei Basistransformationen invariant, da ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselben Eigenwerte besitzen.
Was ist die Koordinatenabbildung κ_B: V → ℝⁿ bezüglich einer Basis B?
Rückseite
Die bijektive lineare Abbildung, die jedem Vektor v ∈ V seinen Koordinatenvektor x_B bezüglich der Basis B zuordnet. Sie ist ein Isomorphismus zwischen V und ℝⁿ.
Wie berechnet man die Übergangsmatrix direkt aus zwei Basen B und B'?
Rückseite
Man schreibt die Vektoren von B als Linearkombinationen der Vektoren von B'. Die Koeffizienten bilden spaltenweise die Übergangsmatrix T_{B→B'}.
Was passiert mit der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bei Übergang zu einer Eigenvektorbasis?
Rückseite
Die Darstellungsmatrix wird diagonal (sofern die Abbildung diagonalisierbar ist). Die Diagonaleinträge sind die zugehörigen Eigenwerte.
Wie überprüft man, ob eine Matrix die korrekte Übergangsmatrix von B nach B' ist?
Rückseite
Multipliziere die Übergangsmatrix mit den Koordinatenvektoren der Basis B bezüglich B'. Das Ergebnis müssen die Koordinatenvektoren der Basis B' bezüglich B' sein (also die Standardbasisvektoren).