Mathematik Analysis – Uneigentliche Integrale
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was definiert ein uneigentliches Integral vom Typ 1? · Was definiert ein uneigentlich…
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15 KartenWas definiert ein uneigentliches Integral vom Typ 1?
Rückseite
Ein Integral über ein unendliches Intervall, z. B. ∫ₐ^∞ f(x) dx oder ∫₋∞^b f(x) dx, definiert als Grenzwert bei unendlicher Integrationsgrenze.
Was definiert ein uneigentliches Integral vom Typ 2?
Rückseite
Ein Integral über ein endliches Intervall, wobei der Integrand an mindestens einer Stelle eine Singularität (Polstelle) aufweist, definiert als einseitiger Grenzwert.
Wann konvergiert ein uneigentliches Integral?
Rückseite
Wenn der definierende Grenzwert existiert und endlich ist; andernfalls divergiert das Integral gegen ±∞ oder oszilliert ohne Grenzwert.
Wie lautet das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale?
Rückseite
Gilt 0 ≤ f(x) ≤ g(x) und konvergiert ∫ g(x) dx, so konvergiert auch ∫ f(x) dx; divergiert ∫ f(x) dx, divergiert auch ∫ g(x) dx.
Wie lautet das Minorantenkriterium für uneigentliche Integrale?
Rückseite
Gilt 0 ≤ g(x) ≤ f(x) und divergiert ∫ g(x) dx, so divergiert auch ∫ f(x) dx; konvergiert ∫ f(x) dx, konvergiert auch ∫ g(x) dx.
Was besagt das p-Kriterium für ∫₁^∞ 1/x^p dx?
Rückseite
Das Integral konvergiert genau für p > 1 und divergiert für p ≤ 1; der Grenzwert beträgt 1/(p−1) bei Konvergenz.
Wie prüfst du ∫₀¹ 1/x^p dx auf Konvergenz?
Rückseite
Typ-2-Integral mit Singularität bei 0: konvergiert für p < 1, divergiert für p ≥ 1; Wert bei Konvergenz ist 1/(1−p).
Was ist der Cauchy-Hauptwert eines Integrals?
Rückseite
Symmetrischer Grenzwert lim_{R→∞} ∫₋ᵣᴿ f(x) dx oder lim_{ε→0+} (∫ₐ^{c−ε} + ∫_{c+ε}ᵇ) bei Singularität c; kann existieren, obwohl das uneigentliche Integral divergiert.
Wann liegt absolute Konvergenz vor?
Rückseite
Wenn ∫ |f(x)| dx konvergiert; absolute Konvergenz impliziert gewöhnliche Konvergenz, aber nicht umgekehrt (bedingt konvergent).
Wie wendest du das Vergleichskriterium bei gemischten Vorzeichen an?
Rückseite
Prüfe absolute Konvergenz über |f(x)| mit Majorantenkriterium; scheitert dies, nutze Dirichlet- oder Abel-Kriterium für bedingte Konvergenz.
Was besagt das Dirichlet-Kriterium für uneigentliche Integrale?
Rückseite
Ist F(x)=∫ₐˣ f(t) dt beschränkt und g(x) monoton fallend gegen 0, so konvergiert ∫ₐ^∞ f(x)g(x) dx.
Wie behandelst du ∫₋∞^∞ f(x) dx rechnerisch?
Rückseite
Aufspaltung in ∫₋∞ᶜ + ∫ᶜ^∞ mit beliebigem c ∈ ℝ; beide Teilesintegrale müssen unabhängig voneinander konvergieren.
Welcher Fehler entsteht beim Vertauschen von Grenzwert und Integral?
Rückseite
Ohne gleichmäßige Konvergenz oder Majorante (Satz von Lebesgue) ist lim ∫ ≠ ∫ lim; Beispiel: ∫₀^∞ lim_{n→∞} (sin(nx)/n) dx = 0 ≠ lim ∫ = π/2.
Wie hilft Partialbruchzerlegung bei uneigentlichen Integralen?
Rückseite
Zerlegt rationale Funktionen in Summen von 1/(x−a)^k; jedes Teilesintegral lässt sich elementar integrieren und einzeln auf Konvergenz prüfen.
Wann darfst du bei uneigentlichen Integralen substituieren?
Rückseite
Die Substitution x=φ(t) muss stetig differenzierbar, bijektiv sein und die Integrationsgrenzen korrekt transformieren; Singularitäten dürfen nicht 'versteckt' werden.