Mathematik Lineare Algebra – Bilinearformen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine Bilinearform auf einem Vektorraum V über einem Körper K? · Wie wird eine…
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14 KartenWas ist eine Bilinearform auf einem Vektorraum V über einem Körper K?
Rückseite
Eine Abbildung B: V × V → K, die in jedem Argument linear ist: B(λv₁+μv₂,w)=λB(v₁,w)+μB(v₂,w) und entsprechend im zweiten Argument.
Wie wird eine Bilinearform durch eine Matrix zur Basis (e₁,…,eₙ) dargestellt?
Rückseite
Die Matrix A hat Einträge aᵢⱼ = B(eᵢ,eⱼ). Für Vektoren x,y mit Koordinatenvektoren X,Y gilt B(x,y) = XᵀAY.
Wie ändert sich die Matrix einer Bilinearform bei Basiswechsel mit Übergangsmatrix T?
Rückseite
Die neue Matrix lautet A' = TᵀAT. Dies ist die Kongruenztransformation, nicht Ähnlichkeit.
Wann heißt eine Bilinearform symmetrisch, wann alternierend?
Rückseite
Symmetrisch: B(v,w)=B(w,v) für alle v,w. Alternierend: B(v,v)=0 für alle v (impliziert B(v,w)=-B(w,v) bei char K ≠ 2).
Was besagt der Satz von Sylvester (Trägheitssatz) für symmetrische Bilinearformen über ℝ?
Rückseite
Jede symmetrische Bilinearform lässt sich durch Basiswechsel auf Diagonalform mit Einträgen 1, -1, 0 bringen. Die Anzahlen p (positiv), q (negativ), r (null) sind eindeutig bestimmt – die Signatur (p,q,r).
Was ist der Radikal einer Bilinearform B?
Rückseite
rad(B) = {v ∈ V | B(v,w)=0 für alle w ∈ V}. Er ist ein Unterraum; B ist genau dann nicht-degeneriert, wenn rad(B) = {0}.
Was ist das orthogonale Komplement U^⊥ zu einem Unterraum U bezüglich B?
Rückseite
U^⊥ = {v ∈ V | B(v,u)=0 für alle u ∈ U}. Bei nicht-degeneriertem B gilt dim U + dim U^⊥ = dim V, aber U ∩ U^⊥ muss nicht {0} sein.
Wann ist eine symmetrische Bilinearform über ℝ positiv definit?
Rückseite
Wenn B(v,v) > 0 für alle v ≠ 0 gilt. Äquivalent: Alle Eigenwerte der Matrix sind > 0, oder die Signatur lautet (n,0,0).
Was ist die Gram-Matrix zu Vektoren v₁,…,vₖ bezüglich B?
Rückseite
Die Matrix G mit Einträgen gᵢⱼ = B(vᵢ,vⱼ). Ihre Determinante (Gramsche Determinante) ist ≠ 0 gdw. die Vektoren linear unabhängig sind und B auf ihrem Spann nicht-degeneriert ist.
Wie hängt die Polarisation mit quadratischen Formen zusammen?
Rückseite
Jede quadratische Form Q(v)=B(v,v) einer symmetrischen Bilinearform lässt sich zurückgewinnen: B(v,w) = ½(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)) (Polarisationsformel, char K ≠ 2).
Was besagt der Hauptachsentransformationssatz für symmetrische Bilinearformen über ℝ?
Rückseite
Es existiert eine orthonormale Basis, in der die Matrix diagonal ist mit Eigenwerten auf der Diagonalen. Dies ist die Spektralzerlegung: A = PDPᵀ mit orthogonaler P.
Wie erkennt man an der Matrix, ob eine Bilinearform nicht-degeneriert ist?
Rückseite
Die Matrix ist regulär (Determinante ≠ 0). Äquivalent: Der Rang der Matrix gleich Dimension von V, oder 0 ist kein Eigenwert.
Was ist der Unterschied zwischen Kongruenz und Ähnlichkeit von Matrizen?
Rückseite
Kongruenz: A' = TᵀAT (Basiswechsel bei Bilinearformen). Ähnlichkeit: A' = T⁻¹AT (Basiswechsel bei Endomorphismen). Kongruenz erhält Symmetrie und Signatur, nicht Eigenwerte.
Wie klassifiziert man symmetrische Bilinearformen über ℂ?
Rückseite
Über ℂ lassen sich alle symmetrischen Bilinearformen auf Diagonalform mit nur 1 und 0 bringen. Die Klassifizierung erfolgt allein über den Rang r (Signatur (r,0,n-r)), da -1 = i²·1 quadratisch ist.