Mathematik Analysis – Partielle Ableitungen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) nach x? · Wie lautet die Notat…
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14 KartenWas ist eine partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) nach x?
Rückseite
Die Ableitung von f nach x, wobei alle anderen Variablen (hier y) als Konstanten behandelt werden.
Wie lautet die Notation für die partielle Ableitung nach x?
Rückseite
∂f/∂x, f_x oder D_x f – das ∂-Symbol unterscheidet sie von der totalen Ableitung d/dx.
Nach welcher Regel berechnet man partielle Ableitungen?
Rückseite
Die Variable der Ableitung wird als Variable behandelt, alle anderen Variablen werden wie Konstanten behandelt.
Was ist der Gradient einer skalaren Funktion f: ℝⁿ → ℝ?
Rückseite
Der Vektor aller ersten partiellen Ableitungen heißt Gradient: ∇f = (∂f/∂x₁, ..., ∂f/∂xₙ).
Welche geometrische Bedeutung hat der Gradient an einer Stelle?
Rückseite
Er zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion, seine Länge ist die maximale Steigung.
Was beschreibt die totale Differentielle df einer Funktion f(x,y)?
Rückseite
Die totale Differentielle df approximiert die Funktionsänderung linear: df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy.
Wie lautet die mehrdimensionale Kettenregel für f(x(t), y(t))?
Rückseite
df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) – Summe über alle inneren Ableitungen.
Wie ist die Richtungsableitung von f in Richtung eines Einheitsvektors u definiert?
Rückseite
Die Richtungsableitung D_u f = ∇f · u ist das Skalarprodukt aus Gradient und Einheitsvektor u.
Wann ist die Richtungsableitung maximal und welchen Wert nimmt sie an?
Rückseite
Die Richtungsableitung ist maximal in Gradient-Richtung, ihr Wert beträgt dann die Länge ||∇f||.
Was sind partielle Ableitungen zweiter Ordnung?
Rückseite
Partielle Ableitungen zweiter Ordnung sind Ableitungen der ersten partiellen Ableitungen, z. B. ∂²f/∂x² oder ∂²f/∂x∂y.
Was besagt der Satz von Schwarz über gemischte partielle Ableitungen?
Rückseite
Sind die zweiten partiellen Ableitungen stetig, ist die Reihenfolge der Differentiation vertauschbar: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.
Was ist die Hesse-Matrix einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion?
Rückseite
Die Hesse-Matrix ist die quadratische Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen mit Einträgen H_ij = ∂²f/∂x_i∂x_j.
Wann nennt man einen Punkt stationär (kritisch) bei Funktionen mehrerer Variablen?
Rückseite
Wenn alle ersten partiellen Ableitungen verschwinden, also der Gradient der Nullvektor ist: ∇f = 0.
Berechne die partiellen Ableitungen von f(x,y) = x²y + sin(y).
Rückseite
∂f/∂x = 2xy (y als Konstante behandelt), ∂f/∂y = x² + cos(y) (x als Konstante).