Mathematik Analysis – Mittelwertsatz
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was besagt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Lagrange)? · Welche Vorausset…
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15 KartenWas besagt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Lagrange)?
Rückseite
Ist f auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar, so existiert ξ ∈ (a,b) mit f'(ξ) = (f(b)−f(a))/(b−a).
Welche Voraussetzungen muss der Mittelwertsatz der Differentialrechnung erfüllen?
Rückseite
f muss auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und auf dem offenen Intervall (a,b) differenzierbar sein.
Was ist der geometrische Sinn des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung?
Rückseite
Es gibt mindestens einen Punkt ξ, an dem die Tangente parallel zur Sekante durch (a,f(a)) und (b,f(b)) verläuft.
Wie lautet der Satz von Rolle als Spezialfall des Mittelwertsatzes?
Rückseite
Bei f(a)=f(b) existiert ξ ∈ (a,b) mit f'(ξ)=0 – die Tangente ist waagerecht.
Was besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Rückseite
Für stetige f auf [a,b] existiert ξ ∈ [a,b] mit ∫_a^b f(x)dx = f(ξ)·(b−a). Der Flächeninhalt entspricht einem Rechteck der Höhe f(ξ).
Was ist der Unterschied zwischen dem 1. und 2. Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Rückseite
Der 1. fordert nur Stetigkeit von f. Der 2. (Bonnet) fordert f monoton und g integrierbar, dann ∫ f·g = f(a)∫_a^ξ g + f(b)∫_ξ^b g.
Was besagt der Mittelwertsatz von Cauchy (verallgemeinerter Mittelwertsatz)?
Rückseite
Für f,g auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar mit g'(x)≠0 existiert ξ ∈ (a,b) mit (f(b)−f(a))/(g(b)−g(a)) = f'(ξ)/g'(ξ).
Wie wird der Mittelwertsatz zum Beweis der Monotonie von Funktionen genutzt?
Rückseite
Ist f'≥0 auf (a,b), so ist f monoton fallend/wachsend. Der Mittelwertsatz liefert f(x₂)−f(x₁)=f'(ξ)(x₂−x₁) für x₁<x₂.
Welche Rolle spielt der Mittelwertsatz beim Beweis der Regel von L'Hôpital?
Rückseite
Der Cauchy-Mittelwertsatz auf [x,x+h] liefert f(x+h)/g(x+h) = f'(ξ)/g'(ξ), woraus der Grenzübergang h→0 den Grenzwert f'/g' ergibt.
Was besagt der endliche Inkrementensatz (Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied)?
Rückseite
f(b)=f(a)+f'(a)(b−a)+...+f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)/(n−1)!·(b−a)ⁿ⁻¹ + f⁽ⁿ⁾(ξ)/n!·(b−a)ⁿ für ein ξ∈(a,b).
Warum funktioniert der Mittelwertsatz nicht für f(x)=|x| auf [−1,1]?
Rückseite
f ist auf [−1,1] stetig, aber nicht auf (−1,1) differenzierbar (keine Ableitung in 0). Die Voraussetzungen sind verletzt.
Wie lautet der Mittelwertsatz für Vektorwertige Funktionen?
Rückseite
Es gilt ‖f(b)−f(a)‖ ≤ sup_{ξ∈(a,b)} ‖f'(ξ)‖ · (b−a). Gleichheit gilt nicht allgemein, nur eine Ungleichung.
Was ist der Zusammenhang zwischen Mittelwertsatz und Lipschitz-Stetigkeit?
Rückseite
Ist f' auf (a,b) beschränkt, so ist f lipschitz-stetig. Der Mittelwertsatz liefert |f(x)−f(y)| ≤ sup|f'|·|x−y|.
Wann kann der Mittelwertsatz auf unbeschränkte Intervalle angewendet werden?
Rückseite
Bei f stetig auf [a,∞) und differenzierbar auf (a,∞) mit existierendem Grenzwert lim_{x→∞} f'(x) lässt sich das asymptotische Verhalten abschätzen.
Wie hilft der Mittelwertsatz beim Beweis der Fundamentalsätze der Analysis?
Rückseite
Er zeigt, dass Stammfunktionen sich nur um eine Konstante unterscheiden: F'=G' ⇒ (F−G)'=0 ⇒ F−G konstant (via Mittelwertsatz).