Mathematik Lineare Algebra – Diagonalisierung
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine diagonalisierbare Matrix? · Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?
Karten
15 KartenWas ist eine diagonalisierbare Matrix?
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Eine quadratische Matrix A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D gibt mit A = SDS⁻¹.
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?
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Ein Eigenwert λ und Eigenvektor v ≠ 0 erfüllen Av = λv. Der Eigenvektor wird durch A nur gestreckt, nicht gedreht.
Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix?
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Man löst die charakteristische Gleichung det(A - λI) = 0 nach λ auf. Die Lösungen sind die Eigenwerte.
Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix?
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Das Polynom χ_A(λ) = det(A - λI) vom Grad n. Seine Nullstellen sind genau die Eigenwerte von A.
Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?
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Genau dann, wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte n ergibt, also ein Basis aus Eigenvektoren existiert.
Was ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts?
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Die Vielfachheit des Eigenwerts als Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Sie gibt an, wie oft λ auf der Diagonalen von D steht.
Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?
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Die Dimension des Eigenraums Eig(A, λ) = ker(A - λI). Sie zählt linear unabhängige Eigenvektoren zu λ.
Wie hängen algebraische und geometrische Vielfachheit zusammen?
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Die geometrische Vielfachheit ist immer ≤ der algebraischen. Gleichheit für alle Eigenwerte ⇔ Matrix ist diagonalisierbar.
Was besagt der Spektralsatz für symmetrische Matrizen?
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Jede reelle symmetrische Matrix ist orthogonal diagonalisierbar: A = QDQᵀ mit orthogonaler Q und reeller Diagonalmatrix D.
Sind symmetrische Matrizen immer diagonalisierbar?
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Ja, reelle symmetrische Matrizen sind immer orthogonal diagonalisierbar. Alle Eigenwerte sind reell, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal.
Was ist die Jordan-Normalform?
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Für nicht diagonalisierbare Matrizen existiert eine fast-diagonale Blockmatrix J mit Eigenwerten auf der Diagonalen und Einsen auf der Nebendiagonalen.
Wie diagonalisiert man eine Matrix praktisch?
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1. Eigenwerte berechnen. 2. Zu jedem Eigenwert Eigenvektoren bestimmen. 3. S aus Eigenvekteln bilden. 4. D = S⁻¹AS prüfen.
Was bedeutet Diagonalisierung für Potenzen einer Matrix?
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Für A = SDS⁻¹ gilt Aᵏ = SDᵏS⁻¹. Potenzen der Diagonalmatrix D sind elementweise: (Dᵏ)ᵢᵢ = λᵢᵏ. Effiziente Berechnung hoher Potenzen.
Was ist eine orthogonale Diagonalisierung?
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Diagonalisierung mit orthogonaler Matrix Q (Q⁻¹ = Qᵀ): A = QDQᵀ. Möglich genau für normalen Matrizen, insbesondere symmetrische.
Was ist der Unterschied zwischen Diagonalisierung und Jordan-Normalform?
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Diagonalisierung gelingt nur bei vollständiger Eigenvektorbasis. Jordan-Normalform existiert immer, hat Jordan-Blöcke statt reiner Diagonale bei Defekt.