Mathematik Analysis – Substitution
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist das Grundprinzip der Integration durch Substitution? · Wann ist eine Substitu…
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15 KartenWas ist das Grundprinzip der Integration durch Substitution?
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Die Substitution kehrt die Kettenregel um: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du mit u = g(x).
Wann ist eine Substitution im Integral sinnvoll?
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Du wendest Substitution an, wenn der Integrand eine zusammengesetzte Funktion und die Ableitung der inneren Funktion (bis auf Faktor) enthält.
Wie verändern sich die Integrationsgrenzen bei bestimmten Integralen?
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Bei bestimmten Integralen transformierst du die Grenzen: u(a) und u(b) werden die neuen Integrationsgrenzen, Rücksubstitution entfällt.
Was muss bei unbestimmten Integralen nach der Integration in u geschehen?
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Bei unbestimmten Integralen führst du nach Integration in u die Rücksubstitution u = g(x) durch, um das Ergebnis in x auszudrücken.
Wie wählst du die Substitution bei Kettenresten typischerweise?
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Typische Substitution: u = innere Funktion bei Kettenresten, z. B. u = x² bei ∫ 2x·sin(x²) dx.
Welche Substitution eignet sich für Wurzelausdrücke √(ax+b)?
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Bei Wurzelausdrücken √(ax+b) setzt du u = ax+b, bei √(x²±a²) oft trigonometrische Substitution.
Welcher Fehler passiert häufig beim Ersetzen von dx durch du?
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Häufiger Fehler: dx wird nicht durch du ersetzt. Korrekt: dx = du/g'(x) oder du = g'(x) dx einsetzen.
Was ist der häufigste Fehler bei bestimmten Integralen mit Substitution?
Rückseite
Häufiger Fehler: Bei bestimmten Integralen werden die Grenzen nicht transformiert. Neue Grenzen: u(a) und u(b) einsetzen.
Löse beispielhaft: ∫ 2x·cos(x²) dx
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Beispiel ∫ 2x·cos(x²) dx: Setze u = x², du = 2x dx → ∫ cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
Löse beispielhaft: ∫ x/√(x²+1) dx
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Beispiel ∫ x/√(x²+1) dx: Setze u = x²+1, du = 2x dx → ½∫ u^(-½) du = √u + C = √(x²+1) + C.
Wie hängt Substitution mit der Kettenregel der Differentiation zusammen?
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Die Substitution entspricht der Kettenregel der Differentiation: d/dx F(g(x)) = F'(g(x))·g'(x) = f(g(x))·g'(x).
Worin unterscheidet sich der Umgang mit Grenzen bei bestimmten und unbestimmten Integralen?
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Bei bestimmten Integralen entfällt die Rücksubstitution durch Grenztransformation; bei unbestimmten ist sie zwingend nötig für das Endergebnis in x.
Wie lautet die Formel für lineare Substitution u = ax+b?
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Lineare Substitution u = ax+b: ∫ f(ax+b) dx = 1/a ∫ f(u) du. Faktor 1/a entsteht durch dx = du/a.
Wann nutzt du Substitution und wann partielle Integration?
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Partielle Integration vs. Substitution: Substitution bei Kettenresten (Ableitung innerer Funktion vorhanden), partielle Integration bei Produkten verschiedener Funktionstypen.
Was sind Eulersche Substitutionen und wann werden sie verwendet?
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Eulersche Substitutionen lösen Integrale mit √(ax²+bx+c); für Analysis-Grundkurs meist nicht prüfungsrelevant, aber für Wurzelintegrale nützlich.