Mathematik Analysis – Monotonie und Extremwerte
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Wann ist eine Funktion streng monoton steigend? · Wie prüfst du Monotonie mit der Abl…
Karten
15 KartenWann ist eine Funktion streng monoton steigend?
Rückseite
Eine Funktion f ist streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) < f(x2). Der Graph verläuft überall nach oben.
Wie prüfst du Monotonie mit der Ableitung?
Rückseite
Ist f differenzierbar, so ist f streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0 für alle x im Intervall gilt. Für fallend muss f'(x) < 0 gelten.
Was besagt das notwendige Kriterium für lokale Extrema?
Rückseite
Hat f an der Stelle x0 ein lokales Extremum und ist dort differenzierbar, so muss f'(x0) = 0 gelten. Nullstellen der Ableitung sind Extremwertkandidaten.
Wie wendest du das hinreichende Kriterium (Vorzeichenwechsel) an?
Rückseite
Wechselt f' an der Stelle x0 von + auf -, liegt ein lokales Maximum vor. Wechselt f' von - auf +, liegt ein lokales Minimum vor. Kein Wechsel = kein Extremum.
Was ist der Unterschied zwischen lokalem und globalem Extremum?
Rückseite
Ein lokales Extremum ist nur in einer Umgebung das größte/kleinste Funktionswert. Ein globales Extremum ist der größte/kleinste Wert auf dem gesamten Definitionsbereich.
Wo können globale Extrema zusätzlich zu kritischen Stellen auftreten?
Rückseite
Bei Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen [a,b] müssen auch die Randpunkte a und b geprüft werden – dort können globale Extrema liegen ohne dass f' = 0 ist.
Wann hilft die zweite Ableitung bei der Extremwertbestimmung?
Rückseite
Ist f'(x0) = 0 und f''(x0) > 0, liegt ein lokales Minimum vor. Ist f''(x0) < 0, liegt ein lokales Maximum vor. Bei f''(x0) = 0 ist das Kriterium unentscheidend.
Was sind Sattelpunkte (Terrassepunkte)?
Rückseite
Stellen mit f'(x0) = 0, an denen kein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet. Die Funktion hat dort waagerechte Tangente, aber kein Extremum – z. B. f(x) = x³ bei x = 0.
Wie bestimmst du Monotonieintervalle systematisch?
Rückseite
1. Ableitung f' bilden. 2. Nullstellen von f' berechnen. 3. Vorzeichen von f' auf den durch Nullstellen geteilten Intervallen prüfen. 4. Monotonieverhalten ablesen.
Was gilt für die Monotonie an Stellen, wo f nicht differenzierbar ist?
Rückseite
An Ecken oder Kanten (z. B. Betragsfunktionen) kann die Monotonie wechseln, ohne dass f' = 0 ist. Diese Stellen müssen separat in die Intervallbetrachtung einbezogen werden.
Wie verhält sich die Monotonie bei konstanten Funktionen?
Rückseite
Eine konstante Funktion f(x) = c ist monoton steigend und monoton fallend (nicht streng). Die Ableitung ist überall f'(x) = 0.
Wann ist ein Extremwertkandidat kein Extremum?
Rückseite
Wenn die Ableitung f' an der Stelle x0 kein Vorzeichenwechsel zeigt (z. B. f(x) = x³ bei x = 0) oder die zweite Ableitung f''(x0) = 0 ohne Vorzeichenwechsel ist.
Was besagt das Monotoniekriterium für stetige Funktionen?
Rückseite
Ist f auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar mit f'(x) ≥ 0 (bzw. ≤ 0), so ist f auf [a,b] monoton steigend (bzw. fallend). Streng bei > 0 / < 0.
Wie findest du Extrema bei gebrochen-rationalen Funktionen?
Rückseite
Ableitung mit Quotientenregel bilden, Zähler = 0 setzen für Kandidaten. Definitionslücken (Polstellen) sind keine Extrema, aber Intervallgrenzen für Monotoniebereiche.
Was ist der Zusammenhang zwischen Wendestellen und Extrema?
Rückseite
Wendestellen (f'' = 0 mit Vorzeichenwechsel) markieren Krümmungsänderung. Sie können mit Extrema zusammenfallen (z. B. f(x) = x⁴ bei 0), müssen aber nicht. Unabhängige Konzepte.