Mathematik Geometrie – Kreise und Kegelschnitte
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Wie lautet die allgemeine Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt M(x₀,y₀) und Radius…
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15 KartenWie lautet die allgemeine Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt M(x₀,y₀) und Radius r?
Rückseite
(x - x₀)² + (y - y₀)² = r² beschreibt alle Punkte mit Abstand r zum Mittelpunkt M.
Wie bestimmt man die Tangentengleichung an einen Kreis im Punkt P(x₁,y₁)?
Rückseite
Für Kreis (x-x₀)²+(y-y₀)²=r² lautet die Tangente: (x₁-x₀)(x-x₀)+(y₁-y₀)(y-y₀)=r².
Was besagt der Potenzsatz (Sekantensatz) für einen Punkt P bezüglich eines Kreises?
Rückseite
Das Produkt der Abstände von P zu den beiden Schnittpunkts einer beliebigen Sekante durch P ist konstant und gleich |PM|² - r².
Wie ist eine Ellipse als geometrischer Ort definiert?
Rückseite
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Summe der Abstände zu zwei festen Brennpunkten F₁, F₂ konstant 2a ist.
Wie lautet die Standardgleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung und Hauptachsen parallel zu den Koordinatenachsen?
Rückseite
x²/a² + y²/b² = 1 mit a > b > 0; a ist die große, b die kleine Halbachse.
Wie berechnet man die Exzentrizität e einer Ellipse und was bedeutet sie?
Rückseite
e = √(1 - b²/a²) mit 0 < e < 1; sie misst die Abplattung der Ellipse (e=0 wäre ein Kreis).
Wie ist eine Parabel als geometrischer Ort definiert?
Rückseite
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die zu einem festen Brennpunkt F und einer festen Leitlinie l den gleichen Abstand haben.
Wie lautet die Gleichung einer Parabel mit Scheitel im Ursprung und Brennpunkt F(p/2, 0)?
Rückseite
y² = 2px (nach rechts geöffnet) bzw. y² = -2px (nach links); p ist der Parameter (Abstand Scheitel-Brennpunkt).
Welche Parameterform hat eine Parabel mit Scheitel im Ursprung und Öffnung in x-Richtung?
Rückseite
x = t²/(2p), y = t mit t ∈ ℝ; der Parameter t entspricht der y-Koordinate.
Wie ist eine Hyperbel als geometrischer Ort definiert?
Rückseite
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Differenz der Abstände zu zwei festen Brennpunkten F₁, F₂ konstant 2a ist.
Wie lautet die Standardgleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung und Brennpunkten auf der x-Achse?
Rückseite
x²/a² - y²/b² = 1; die Brennpunkte liegen bei (±c, 0) mit c² = a² + b².
Wie bestimmt man die Asymptoten der Hyperbel x²/a² - y²/b² = 1?
Rückseite
Die Asymptoten sind die Geraden y = ±(b/a)x; die Hyperbel nähert sich ihnen für große |x| beliebig stark an.
Wie klassifiziert man einen Kegelschnitt anhand der allgemeinen Gleichung Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0?
Rückseite
An Hand der Diskriminante Δ = B² - 4AC: Δ < 0 → Ellipse (Kreis), Δ = 0 → Parabel, Δ > 0 → Hyperbel.
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Exzentrizität e und Kegelschnitt-Typ?
Rückseite
e = 0: Kreis; 0 < e < 1: Ellipse; e = 1: Parabel; e > 1: Hyperbel; e bestimmt die Form unabhängig von der Skalierung.
Wie berechnet man die Brennpunkte einer Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 (a > b)?
Rückseite
Brennpunkte F₁,₂ = (±c, 0) mit c = √(a² - b²); die Leitlinien sind x = ±a²/c.