Mathematik Kombinatorik – Permutationen und Kombinationen
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14 KartenWas ist eine Permutation in der Kombinatorik?
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Eine Permutation ist eine geordnete Anordnung aller n Elemente einer Menge ohne Wiederholung.
Wie berechnet man die Anzahl der Permutationen n verschiedener Elemente?
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Die Anzahl beträgt n Fakultät (n!), also das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.
Wie lautet die Formel für Permutationen mit wiederholten Elementen?
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Bei Wiederholungen teilt man n! durch das Produkt der Fakultäten der Häufigkeiten jedes Elements.
Was unterscheidet eine Kombination von einer Permutation?
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Bei einer Kombination wird eine Teilmenge ausgewählt, wobei die Reihenfolge der Elemente irrelevant ist.
Wie berechnet man den Binomialkoeffizienten „n über k“?
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Er gibt die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge an: n! / (k! * (n-k)!).
Welche Symmetrieeigenschaft besitzt der Binomialkoeffizient?
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Der Binomialkoeffizient ist symmetrisch: „n über k“ gleich „n über n minus k“, da Auswahl und Rest gleich viele Möglichkeiten haben.
Wie entsteht das Pascal-Dreieck rekursiv?
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Jede Zahl ist die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen; Randwerte sind 1, entsprechen den Binomialkoeffizienten.
Was ist der Unterschied zwischen Variation und Permutation?
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Eine Variation wählt k aus n Elementen geordnet aus, eine Permutation ordnet alle n Elemente an.
Wie viele Variationen ohne Wiederholung gibt es für k aus n?
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Die Anzahl ist n! / (n-k)!, da für jede Position die verbleibenden Elemente abnehmen.
Wie viele Variationen mit Wiederholung gibt es für k aus n?
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Bei Wiederholung stehen für jede der k Positionen alle n Elemente zur Verfügung: n hoch k.
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 49?
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Es ist eine Kombination ohne Reihenfolge: „49 über 6“ = 13.983.816 verschiedene Tippreihen.
Wie viele Sitzordnungen gibt es für 5 Personen auf 5 Stühlen?
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Das ist eine Permutation von 5 Elementen: 5! = 120 mögliche Anordnungen.
Welchen Zusammenhang stellt der binomische Lehrsatz her?
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Er entwickelt (a+b)^n als Summe von Binomialkoeffizienten mal Potenzen: Σ (n über k) a^k b^(n-k).
Wann nutzt man Permutation, wann Kombination?
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Permutation bei Anordnung aller Elemente (Reihenfolge relevant), Kombination bei Auswahl einer Teilmenge (Reihenfolge egal).