Mathematik Analysis – Taylor-Reihen und Potenzreihen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Wie lautet die Definition einer Taylor-Reihe einer Funktion f im Entwicklungspunkt x₀…
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14 KartenWie lautet die Definition einer Taylor-Reihe einer Funktion f im Entwicklungspunkt x₀?
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Die Taylor-Reihe ist Σ (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!) · (x - x₀)ⁿ von n=0 bis ∞, wobei f⁽ⁿ⁾ die n-te Ableitung an der Stelle x₀ bezeichnet.
Was unterscheidet eine Maclaurin-Reihe von einer allgemeinen Taylor-Reihe?
Rückseite
Eine Maclaurin-Reihe ist der Spezialfall der Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt x₀ = 0.
Wie definiert man den Konvergenzradius R einer Potenzreihe Σ aₙ(x - x₀)ⁿ?
Rückseite
Nach Cauchy-Hadamard: 1/R = lim sup |aₙ|¹/ⁿ. Die Reihe konvergiert für |x - x₀| < R und divergiert für |x - x₀| > R.
Nenne die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion eˣ (Maclaurin-Reihe).
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eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... mit Konvergenzradius R = ∞ (konvergiert für alle x ∈ ℝ).
Wie lautet die Maclaurin-Reihe von sin x?
Rückseite
sin x = Σ (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = x - x³/3! + x⁵/5! - ... mit R = ∞. Nur ungerade Potenzen auftreten.
Wie lautet die Maclaurin-Reihe von cos x?
Rückseite
cos x = Σ (-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)! = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... mit R = ∞. Nur gerade Potenzen auftreten.
Gib die Taylor-Reihe von ln(1+x) am Entwicklungspunkt 0 an und nenne den Konvergenzintervall.
Rückseite
ln(1+x) = Σ (-1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n = x - x²/2 + x³/3 - ... für -1 < x ≤ 1 (R = 1, Rand x=1 konvergent, x=-1 divergent).
Was besagt die geometrische Reihe als Potenzreihe?
Rückseite
1/(1-x) = Σ xⁿ für |x| < 1. Dies ist die Maclaurin-Reihe mit aₙ = 1 und Konvergenzradius R = 1.
Wie schätzt man den Approximationsfehler einer Taylor-Polynom-Näherung ab?
Rückseite
Mit dem Lagrangeschen Restglied: Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x-x₀)ⁿ⁺¹ für ein ξ zwischen x₀ und x.
Was besagt der Identitätssatz für Potenzreihen?
Rückseite
Stimmen zwei Potenzreihen auf einer Menge mit Häufungspunkt im Konvergenzkreis überein, sind alle Koeffizienten identisch.
Wie wird das Cauchy-Produkt zweier Potenzreihen definiert?
Rückseite
(Σ aₙxⁿ) · (Σ bₙxⁿ) = Σ cₙxⁿ mit cₙ = Σ aₖbₙ₋ₖ (k=0..n). Konvergiert mindestens für |x| < min(R₁, R₂).
Darf man Potenzreihen innerhalb des Konvergenzintervalls gliedweise differenzieren und integrieren?
Rückseite
Ja, innerhalb des offenen Konvergenzintervalls lässt sich eine Potenzreihe gliedweise differenzieren und integrieren; der Konvergenzradius bleibt erhalten.
Entwickle f(x) = e^(x²) in eine Maclaurin-Reihe bis zum Glied 4. Grades.
Rückseite
e^(x²) = 1 + x² + x⁴/2 + O(x⁶). Ersetzt man in eˣ = Σ xⁿ/n! das x durch x², erhält man Σ x²ⁿ/n!.
Wann ist eine Funktion in x₀ analytisch (entwickelbar in Taylor-Reihe)?
Rückseite
Eine Funktion ist in x₀ analytisch, wenn sie in einer Umgebung von x₀ durch ihre Taylor-Reihe dargestellt wird – also Restglied gegen 0 geht.