Mathematik Analysis – Grenzwerte von Funktionen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Wie lautet die ε-δ-Definition des Grenzwerts lim_{x→x₀} f(x) = L? · Was ist der Unter…
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15 KartenWie lautet die ε-δ-Definition des Grenzwerts lim_{x→x₀} f(x) = L?
Rückseite
Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - x₀| < δ gilt: |f(x) - L| < ε.
Was ist der Unterschied zwischen dem Limes und dem Funktionswert f(x₀)?
Rückseite
Der Limes beschreibt das Verhalten in der Umgebung von x₀, nicht notwendigerweise an der Stelle x₀ selbst; f(x₀) muss nicht definiert sein oder kann vom Limes abweichen.
Wann existieren der linksseitige und rechtsseitige Limes an einer Stelle x₀?
Rückseite
Der Limes lim_{x→x₀} f(x) existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen: lim_{x↗x₀} f(x) = lim_{x↘x₀} f(x).
Nenne die Grenzwertsätze für Summe, Produkt und Quotient zweier Funktionen.
Rückseite
lim(f+g) = lim f + lim g; lim(f·g) = lim f · lim g; lim(f/g) = lim f / lim g, falls lim g ≠ 0 (alle Limes müssen existieren).
Was besagt der Einklemmsatz (Satz von der Einklemmung) für Grenzwerte?
Rückseite
Liegt f(x) zwischen g(x) und h(x) und haben beide denselben Limes L an der Stelle x₀, so konvergiert auch f(x) gegen L.
Wie lautet der wichtige Standardgrenzwert lim_{x→0} sin(x)/x?
Rückseite
Der Grenzwert beträgt 1; Beweis erfolgt meist geometrisch über den Einheitskreis und den Einklemmsatz mit cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1.
Welchen Wert hat lim_{n→∞} (1 + 1/n)^n und wie heißt diese Zahl?
Rückseite
Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828; sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und fundamental für Exponentialfunktionen.
Was bedeutet lim_{x→x₀} f(x) = ∞ (uneigentlicher Limes)?
Rückseite
Für jede Schranke M > 0 gibt es ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - x₀| < δ gilt: f(x) > M; die Funktion wächst über alle Grenzen.
Wie berechnet man lim_{x→∞} (3x² + 2x) / (x² - 5)?
Rückseite
Teile Zähler und Nenner durch die höchste Potenz x²: lim (3 + 2/x) / (1 - 5/x²) = 3/1 = 3.
Was sind unbestimmte Ausdrücke (indeterminate forms) bei Grenzwertberechnungen?
Rückseite
Ausdrücke wie 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰, deren Wert nicht direkt ablesbar ist und weitere Umformungen erfordert.
Wann darf die Regel von L'Hospital angewendet werden?
Rückseite
Bei den unbestimmten Formen 0/0 oder ∞/∞, wenn f und g in einer Umgebung von x₀ differenzierbar sind und g'(x) ≠ 0 gilt; dann ist lim f/g = lim f'/g', falls dieser existiert.
Wie charakterisiert die Folgencheck-Kriterium (Heine-Kriterium) den Limes einer Funktion?
Rückseite
lim_{x→x₀} f(x) = L genau dann, wenn für jede Folge (xₙ) mit xₙ ≠ x₀ und lim xₙ = x₀ die Bildfolge f(xₙ) gegen L konvergiert.
Was besagt der Limes der Kompositionsregel (Verkettungssatz)?
Rückseite
Ist lim_{x→x₀} g(x) = y₀ und f an der Stelle y₀ stetig, so gilt lim_{x→x₀} f(g(x)) = f(lim_{x→x₀} g(x)) = f(y₀).
Nenne drei weitere wichtige Standardgrenzwerte neben sin(x)/x und (1+1/n)^n.
Rückseite
lim_{x→0} (e^x - 1)/x = 1; lim_{x→0} ln(1+x)/x = 1; lim_{x→0} (1+x)^(1/x) = e.
Wann ist eine Funktion an der Stelle x₀ stetig – formuliere mit Grenzwerten?
Rückseite
f ist in x₀ stetig gdw. f(x₀) definiert ist, lim_{x→x₀} f(x) existiert und beide Werte übereinstimmen: lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).