Mathematik Analysis – Stetigkeit und Zwischenwertsatz
Stetigkeit ist das Fundament der Analysis: ohne sie funktionieren Ableitung und Integral nicht. Der Zwischenwertsatz garantiert Nullstellen stetiger Funktionen – essenziell für numerische Verfahren. Nach dem Lernen dieser Karten beherrschst du das ε-δ-Kriterium, kennst Stetigkeitseigenschaften und kannst den Zwischenwertsatz auf Nullstellen-Probleme anwenden.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Wie lautet die ε-δ-Definition der Stetigkeit an der Stelle x₀?
- Wann ist eine Funktion nach dem Folgenkriterium stetig?
- Welche elementaren Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig?
- Sind Summe, Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetig?
Lerntipp
Zeichne zu jeder ε-δ-Aufgabe zuerst den Graphen – das visuelle Verständnis der 'Röhre' um den Funktionswert macht das formale Kriterium sofort greifbar.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Analysis – Stetigkeit und Zwischenwertsatz
- Wie lautet die ε-δ-Definition der Stetigkeit an der Stelle x₀?
- f ist in x₀ stetig, wenn ∀ε>0 ∃δ>0: |x-x₀|<δ ⇒ |f(x)-f(x₀)|<ε. Der δ hängt von ε und x₀ ab.
- Wann ist eine Funktion nach dem Folgenkriterium stetig?
- f ist in x₀ stetig gdw. für jede Folge (xₙ) mit xₙ→x₀ gilt: f(xₙ)→f(x₀). Grenzwertbildung und Funktionsausführung sind vertauschbar.
- Welche elementaren Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig?
- Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion, Logarithmus und deren Umkehrfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
- Sind Summe, Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetig?
- Ja: Sind f, g in x₀ stetig, so sind f+g, f·g und f/g (für g(x₀)≠0) in x₀ stetig. Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.
- Nenne die drei Hauptarten von Unstetigkeitsstellen.
- Hebbare Unstetigkeit (Limes existiert, Funktionswert fehlt/weicht ab), Sprungstelle (einseitige Limes existieren, sind verschieden), Polstelle (mindestens ein einseitiger Limes ist unendlich).
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