Mathematik Graphentheorie – Planare Graphen
Planare Graphen sind zentral in der Graphentheorie und treten in Netzwerkplanung, Chip-Design und Topologie auf. Nach dem Lernen dieser Karten kennst du die charakterisierenden Sätze, kannst Planarität algorithmisch prüfen und verstehst den Zusammenhang zu Flächenfärbungen.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Was ist ein planarer Graph?
- Wie lautet die eulersche Polyederformel für zusammenhängende planare Graphen?
- Welche obere Schranke für die Kantenanzahl ergibt sich aus der eulerschen Formel für planare Graphen mit n ≥ 3?
- Was besagt das Kuratowski-Theorem zur Charakterisierung planarer Graphen?
Lerntipp
Zeichne K5 und K3,3 mindestens einmal selbst und versuche, Kantenkreuzungen zu vermeiden – so verinnerlichst du intuitiv, warum sie nicht planar sind.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Graphentheorie – Planare Graphen
- Was ist ein planarer Graph?
- Ein Graph, der in der Ebene zeichnen lässt, ohne dass sich Kanten schneiden – außer in gemeinsamen Knoten.
- Wie lautet die eulersche Polyederformel für zusammenhängende planare Graphen?
- Für einen zusammenhängenden planaren Graphen mit n Knoten, m Kanten und f Flächen gilt: n - m + f = 2.
- Welche obere Schranke für die Kantenanzahl ergibt sich aus der eulerschen Formel für planare Graphen mit n ≥ 3?
- Ein planarer Graph mit n ≥ 3 Knoten hat höchstens m ≤ 3n - 6 Kanten.
- Was besagt das Kuratowski-Theorem zur Charakterisierung planarer Graphen?
- Ein Graph ist genau dann planar, wenn er keinen Untergraphen enthält, der eine Unterteilung von K5 oder K3,3 ist.
- Warum sind K5 und K3,3 nicht planar?
- K5 hat 5 Knoten und 10 Kanten (verletzt m ≤ 3n-6), K3,3 hat 6 Knoten, 9 Kanten und keinen Dreieckszug – beide erzwingen Kantenkreuzungen.
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