Mathematik Lineare Algebra – Vektoren und Skalarprodukt

Komponentenweise: (a₁, ..., aₙ) + (b₁, ..., bₙ) = (a₁+b₁, ..., aₙ+bₙ). Geometrisch entspricht dies dem Parallelogrammverfahren.

Jede Komponente wird mit λ multipliziert: λ·(x₁, ..., xₙ) = (λx₁, ..., λxₙ). Der Vektor wird gestreckt (|λ|>1), gestaucht (|λ|<1) oder gespiegelt (λ<0).

Der euklidische Betrag ist ‖v‖ = √(v₁² + ... + vₙ²). Er entspricht der geometrischen Länge des Pfeils im Koordinatensystem.

Für v = (v₁, ..., vₙ) und w = (w₁, ..., wₙ) gilt: v·w = v₁w₁ + ... + vₙwₙ. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, kein Vektor.

v·w = ‖v‖·‖w‖·cos(φ). Daraus folgt cos(φ) = (v·w) / (‖v‖·‖w‖) für nicht-null Vektoren.

Genau dann, wenn ihr Skalarprodukt null ist: v·w = 0. Der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

proj_w(v) = (v·w / ‖w‖²) · w. Der Vektor liegt auf der durch w aufgespannten Geraden und v - proj_w(v) ist orthogonal zu w.

Für alle Vektoren v, w gilt |v·w| ≤ ‖v‖·‖w‖. Gleichheit gilt genau dann, wenn v und w linear abhängig sind (einer ist Skalarvielfaches des anderen).

‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖. Die Länge der Summe ist nie größer als die Summe der Längen – geometrisch: eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der anderen beiden.

Ein Vektor der Form λ₁v₁ + ... + λₖvₖ mit Koeffizienten λᵢ ∈ ℝ. Die Menge aller Linearkombinationen heißt Spann(v₁, ..., vₖ).

Wenn aus λ₁v₁ + ... + λₖvₖ = 0 nur die triviale Lösung λ₁ = ... = λₖ = 0 folgt. Andernfalls sind sie linear abhängig.

Eine Teilmenge B ⊆ V, die linear unabhängig ist und V aufspannt (jeder Vektor in V ist eindeutig als Linearkombination von Basisvektoren darstellbar).

Die Dimension dim(V) ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis von V. Alle Basen eines Vektorraums haben die gleiche Anzahl an Elementen.

Ein Skalarprodukt ist eine symmetrische, bilineare, positiv definite Abbildung V×V→ℝ. Das Standardskalarprodukt ist der Spezialfall v·w = vᵀw im ℝⁿ; allgemeine Skalarprodukte ermöglichen andere Geometrien (z. B. gewichtete Normen).