Mathematik Stochastik – Maximum-Likelihood-Schätzung
Die Maximum-Likelihood-Schätzung ist der Standard für Parameterschätzung in der mathematischen Statistik. Nach dem Lernen dieser Karten beherrschst du die Herleitung von Schätzern über die Log-Likelihood, die Score-Funktion, Fisher-Information und die asymptotischen Eigenschaften wie Konsistenz, asymptotische Normalität und Effizienz. Voraussetzung: Grundkenntnisse in Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Was ist die Likelihood-Funktion L(θ|x)?
- Worin unterscheidet sich Likelihood von Wahrscheinlichkeit?
- Warum nutzt man die Log-Likelihood statt der Likelihood?
- Wie ist der Maximum-Likelihood-Schätzer (MLE) definiert?
Lerntipp
Leite Schätzer immer über die Log-Likelihood her: Ableitung bilden, nullsetzen, zweite Ableitung prüfen. Bei exponentiellen Familien funktioniert dies fast immer analytisch.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
Karteikarten
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Stochastik – Maximum-Likelihood-Schätzung
- Was ist die Likelihood-Funktion L(θ|x)?
- Die Likelihood-Funktion ist die Dichtefunktion der beobachteten Daten x, aufgefasst als Funktion des Parameters θ: L(θ|x) = f(x|θ).
- Worin unterscheidet sich Likelihood von Wahrscheinlichkeit?
- Wahrscheinlichkeit: P(X=x|θ) für festes θ, variable x. Likelihood: L(θ|x) für festes x, variables θ. Likelihood ist keine Wahrscheinlichkeitsverteilung über θ.
- Warum nutzt man die Log-Likelihood statt der Likelihood?
- Produkte werden zu Summen (log Π = Σ log), Ableitungen vereinfachen sich, numerische Stabilität bei kleinen Werten steigt. Der Maximierer bleibt identisch.
- Wie ist der Maximum-Likelihood-Schätzer (MLE) definiert?
- Der MLE θ̂_ML maximiert die Likelihood-Funktion: θ̂_ML = argmax_θ L(θ|x) = argmax_θ ℓ(θ|x) mit ℓ = log L.
- Was ist die Score-Funktion und welche Eigenschaft hat ihr Erwartungswert?
- Die Score-Funktion ist U(θ) = ∂ℓ(θ|X)/∂θ. Unter Regularitätsbedingungen gilt E_θ[U(θ)] = 0.
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