Mathematik Algebra – Ringe und Körper

Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist, also a·b = b·a für alle Elemente a,b des Rings gilt.

Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement ≠ 0, in dem jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses besitzt – Division ist also immer möglich.

Ein Element a ≠ 0 heißt Nullteiler, wenn es ein b ≠ 0 gibt mit a·b = 0. In Körpern gibt es keine Nullteiler außer 0 selbst.

Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring mit Einselement ≠ 0, der keine Nullteiler außer 0 besitzt – also ein kommutativer Ring ohne Nullteiler.

ℤ ist kommutativ, hat die 1 und keine Nullteiler, aber Elemente wie 2 besitzen kein multiplikatives Inverses in ℤ – Division ist nicht immer möglich.

Die rationalen Zahlen ℚ, die reellen Zahlen ℝ und die komplexen Zahlen ℂ sind klassische Beispiele für Körper.

Ein Ideal I ist eine Teilmenge des Rings, die bezüglich Addition eine Untergruppe bildet und das Absorptionseigenschaft erfüllt: r·i ∈ I für alle r ∈ R, i ∈ I.

Ein Hauptidealbereich ist ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, also von einem einzigen Element erzeugt wird – Beispiel: ℤ.

Der Polynomring R[X] ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn der Koeffizientenring R selbst ein Integritätsbereich ist.

Die Charakteristik ist die kleinste positive Zahl n mit n·1 = 0, oder 0, falls keine solche Zahl existiert. Bei Körpern ist sie immer 0 oder eine Primzahl.

Ein endlicher Körper mit n Elementen existiert genau dann, wenn n = p^k mit einer Primzahl p und k ∈ ℕ ist – die Ordnung ist immer eine Primzahlpotenz.

Eine Körpererweiterung L/K ist ein Paar von Körpern, wobei K ein Unterkörper von L ist – L wird dann als Vektorraum über K betrachtet.

Der Grad [L:K] ist die Dimension von L als Vektorraum über K – er ist endlich genau dann, wenn die Erweiterung algebraisch und endlich erzeugt ist.