Mathematik Analysis – Partielle Integration
Die partielle Integration löst Integrale über Produktfunktionen wie x·eˣ oder ln(x). Nach dem Lernen dieser Karten wendest du die Formel ∫u·v' = u·v - ∫u'·v sicher an, erkennst passende u/v'-Zerlegungen und meisterst typische Klausuraufgaben wie ∫xⁿ·eˣ dx oder ∫ln(x) dx.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Wie lautet die Formel der partiellen Integration?
- Aus welcher Ableitungsregel leitet sich die partielle Integration her?
- Was besagt die LIATE-Regel bei der Wahl von u und v'?
- Wie integriert man ∫ x·eˣ dx mit partieller Integration?
Lerntipp
Nutze die LIATE-Regel (Logarithmus, Inverse trig., Algebraisch, Trigonometrisch, Exponential) zur Wahl von u: das früher stehende wird u, das spätere v'. Bei ∫x·sin(x) dx ist x algebraisch (u), sin(x) trigonometrisch (v').
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Analysis – Partielle Integration
- Wie lautet die Formel der partiellen Integration?
- ∫ u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) - ∫ u'(x)·v(x) dx. Man integriert v' zu v und leitet u ab.
- Aus welcher Ableitungsregel leitet sich die partielle Integration her?
- Aus der Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'. Nach Integration und Umstellen erhält man die partielle Integrationsformel.
- Was besagt die LIATE-Regel bei der Wahl von u und v'?
- Rangfolge für u: Logarithmus > Inverse trig. > Algebraisch > Trigonometrisch > Exponential. Das früher stehende wird u, das spätere v'.
- Wie integriert man ∫ x·eˣ dx mit partieller Integration?
- u = x (algebraisch), v' = eˣ → v = eˣ. Ergebnis: x·eˣ - ∫ eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C = eˣ(x - 1) + C.
- Wie löst man ∫ ln(x) dx, obwohl kein Produkt sichtbar ist?
- Schreibe ln(x) = 1·ln(x). Wähle u = ln(x), v' = 1 → v = x. Ergebnis: x·ln(x) - ∫ x·(1/x) dx = x·ln(x) - x + C.
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