Mathematik Beweisführung – Direkter und indirekter Beweis

Man nimmt das Gegenteil der zu beweisenden Aussage an und zeigt, dass dies zu einem logischen Widerspruch führt – die ursprüngliche Aussage muss dann wahr sein.

Die Contraposition beweist eine Implikation A → B, indem man die äquivalente Gegenimplikation ¬B → ¬A zeigt – oft einfacher als der direkte Weg.

Wenn die Voraussetzungen natürlich zur Schlussfolgerung führen und keine Negationen nötig sind – der Beweis wird übersichtlicher und fehleranfälliger.

Bei Aussagen, die eine Nichtexistenz oder Eindeutigkeit formulieren, oder wenn die direkte Herleitung schwer zugänglich ist.

Seien a=2k, b=2m mit k,m∈ℤ. Dann a+b=2k+2m=2(k+m). Da k+m∈ℤ ist, ist a+b ein Vielfaches von 2, also gerade.

Annahme: √2=p/q gekürzt. Dann 2=p²/q² ⇒ p²=2q². Also ist p² und damit p gerade. Setze p=2k ⇒ 4k²=2q² ⇒ q²=2k², also q auch gerade. Widerspruch zur Gekürztheit.

Existenzbeweis: Ein einziges Beispiel genügt (konstruktiv oder nicht-konstruktiv). Allaussage: Muss für alle Elemente der Menge gelten – ein Gegenbeispiel widerlegt sie.

Man zerlegt die Voraussetzungen in erschöpfende, disjunkte Fälle und beweist die Aussage für jeden Fall separat – die Gesamtheit beweist die Aussage.

Gilt A(1) und folgt aus A(k) immer A(k+1), so gilt A(n) für alle n∈ℕ. Basis und Induktionsschritt sind beide zwingend nötig.

Eine Implikation A → B ist wahr, wenn A falsch ist – die Aussage sagt über leere Mengen nichts aus, ist aber logisch valide.

Nicht das exakte Gegenteil annehmen, zirkuläre Argumentation, Widerspruch nicht explizit benennen, oder die Annahme nicht vollständig widerlegen.

1. Gegeben und Gesucht formulieren. 2. Beweisidee skizzieren. 3. Jeder Schritt begründet (Definition, Lemma, Axiom). 4. Schlussaussage explizit als bewiesen kennzeichnen.

Konstruktiv: Das gesuchte Objekt wird explizit angegeben oder algorithmisch erzeugt. Nicht-konstruktiv: Existenz wird logisch gezeigt, ohne das Objekt zu nennen (z. B. über Widerspruch).

Ein einziges Gegenbeispiel genügt: Man nennt ein Element der Grundmenge, das die Eigenschaft nicht erfüllt – die Allaussage ist damit bewiesen falsch.