Mathematik Numerik – Numerische Integration
Numerische Integration erlaubt die Approximation bestimmter Integrale, wenn keine analytische Stammfunktion existiert oder diese zu aufwendig ist. Nach dem Lernen dieser Karten kennst du die wichtigsten Quadraturformeln, ihre Konvergenzordnungen und wann welche Methode effizient eingesetzt wird.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Was ist das Grundprinzip der numerischen Integration (Quadratur)?
- Wie lautet die zusammengesetzte Trapezregel für n Teilintervalle?
- Welchen Konvergenzordnung hat die zusammengesetzte Trapezregel für hinreichend glatte Funktionen?
- Wie wird die Simpson-Regel aus der quadratischen Interpolation hergeleitet?
Lerntipp
Vergleiche die Fehlerordnungen: Trapezregel O(h²), Simpson O(h⁴), Gauß-Legendre mit n Knoten O(h²ⁿ) – wähle die Methode passend zur gewünschten Genauigkeit und Funktionsglätte.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
Karteikarten
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Numerik – Numerische Integration
- Was ist das Grundprinzip der numerischen Integration (Quadratur)?
- Das Integral wird durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten an Stützstellen approximiert: ∫f(x)dx ≈ Σ wᵢ f(xᵢ).
- Wie lautet die zusammengesetzte Trapezregel für n Teilintervalle?
- Tₙ = h/2 [f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)] mit h = (b-a)/n und xᵢ = a + ih für i=1,...,n-1.
- Welchen Konvergenzordnung hat die zusammengesetzte Trapezregel für hinreichend glatte Funktionen?
- Die Trapezregel konvergiert mit Ordnung 2: Der Fehler verhält sich wie O(h²) beziehungsweise O(1/n²).
- Wie wird die Simpson-Regel aus der quadratischen Interpolation hergeleitet?
- Auf jedem Doppelintervall [x₂ᵢ, x₂ᵢ₊₂] wird f durch ein Parabelbogen interpoliert, was die Formel S = h/3 [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + ... + fₙ] ergibt.
- Warum erreicht die Simpson-Regel Ordnung 4 obwohl nur quadratische Interpolation verwendet wird?
- Der Fehlerterm verschwindet für Polynome bis Grad 3 durch Symmetrie der Stützstellen – die Regel ist exakt für kubische Polynome.
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