Mathematik Lineare Algebra – Basistransformation

Die Spalten der Übergangsmatrix T_{B→B'} sind die Koordinaten der alten Basisvektoren b_i bezüglich der neuen Basis B'.

x_{B'} = T_{B→B'} · x_B, wobei x_B der Koordinatenvektor bezüglich B und T_{B→B'} die Übergangsmatrix ist.

T_{B'→B} ist die inverse Matrix von T_{B→B'}, also T_{B'→B} = (T_{B→B'})^{-1}.

A_{B'} = T_{B→B'} · A_B · T_{B'→B}, wobei A_B und A_{B'} die Darstellungsmatrizen bezüglich der Basen B und B' sind.

Zwei Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt mit B = S^{-1} · A · S. Dies bedeutet, sie stellen dieselbe lineare Abbildung bezüglich verschiedener Basen dar.

Die Übergangsmatrix T_{B→E} hat die Basisvektoren von B als Spaltenvektoren, da ihre Koordinaten bezüglich E genau die Vektoren selbst sind.

x_{B'} = (T_{B'→E})^{-1} · x_E, wobei T_{B'→E} die Matrix mit den B'-Basisvektoren als Spalten ist.

Die Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen sind zueinander ähnlich. Die Ähnlichkeitsmatrix ist die Übergangsmatrix der Basen.

Übergangsmatrizen zwischen orthogonalen (bzw. orthonormalen) Basen sind orthogonale Matrizen, ihre Inverse stimmt mit der Transponierten überein: T^{-1} = T^T.

Eigenwerte bleiben bei Basistransformationen invariant, da ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselben Eigenwerte besitzen.

Die bijektive lineare Abbildung, die jedem Vektor v ∈ V seinen Koordinatenvektor x_B bezüglich der Basis B zuordnet. Sie ist ein Isomorphismus zwischen V und ℝⁿ.

Man schreibt die Vektoren von B als Linearkombinationen der Vektoren von B'. Die Koeffizienten bilden spaltenweise die Übergangsmatrix T_{B→B'}.

Die Darstellungsmatrix wird diagonal (sofern die Abbildung diagonalisierbar ist). Die Diagonaleinträge sind die zugehörigen Eigenwerte.

Multipliziere die Übergangsmatrix mit den Koordinatenvektoren der Basis B bezüglich B'. Das Ergebnis müssen die Koordinatenvektoren der Basis B' bezüglich B' sein (also die Standardbasisvektoren).