Mathematik Lineare Algebra – Rang und Kern einer Matrix
Rang und Kern sind zentrale Konzepte der linearen Algebra, die du in jeder Klausur zu linearen Abbildungen und Gleichungssystemen brauchst. Nach dem Lernen dieser Karten bestimmst du Rang und Kern jeder Matrix sicher, wendest die Dimensionsformel an und erkennst Zusammenhänge zu Lösungsräumen linearer Gleichungssysteme.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Was ist der Rang einer Matrix?
- Was ist der Kern (Nullraum) einer Matrix?
- Wie bestimmt man den Rang einer Matrix algorithmisch?
- Wie findet man eine Basis des Kerns einer Matrix?
Lerntipp
Berechne den Rang immer zuerst über die Zeilenstufenform – die Anzahl der Pivotspalten gibt dir den Rang direkt, und die freien Variablen zeigen dir die Basis des Kerns.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Lineare Algebra – Rang und Kern einer Matrix
- Was ist der Rang einer Matrix?
- Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten einer Matrix, gleich der Dimension des Spaltenraums.
- Was ist der Kern (Nullraum) einer Matrix?
- Der Kern besteht aus allen Vektoren x, für die A·x = 0 gilt; er ist ein Unterraum des Definitionsraums.
- Wie bestimmt man den Rang einer Matrix algorithmisch?
- Man führt die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in die Zeilenstufenform und zählt die Pivotzeilen (nicht-null Zeilen).
- Wie findet man eine Basis des Kerns einer Matrix?
- Man löst das homogene Gleichungssystem A·x = 0, drückt die freien Variablen als Parameter aus und liest die Basisvektoren ab.
- Was besagt die Dimensionsformel (Rang-Kern-Satz)?
- Für eine Matrix A ∈ ℝ^(m×n) gilt: Rang(A) + Dim(Kern(A)) = n (Anzahl der Spalten).
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