Mathematik Lineare Algebra – Singulärwertzerlegung
Die Singulärwertzerlegung zerlegt jede Matrix in orthogonale Matrizen und eine Diagonalmatrix mit Singulärwerten. Sie ist das zentrale Werkzeug für Rangbestimmung, Pseudoinverse, Datenkompression und Hauptkomponentenanalyse. Nach dem Lernen dieser Karten beherrschst du Aufbau, Berechnungsschritte und wichtige Sätze der SVD sicher für die Prüfung.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Wie lautet die Singulärwertzerlegung einer Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿ?
- Was sind die Singulärwerte einer Matrix A?
- Welche Eigenschaften haben die Matrizen U und V in der SVD?
- Wie bestimmt man den Rang einer Matrix mittels SVD?
Lerntipp
Rechne die SVD einer 2×2-Matrix einmal komplett von Hand durch – der Zusammenhang zwischen Eigenwerten von AᵀA und Singulärwerten wird dann sofort intuitiv.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Lineare Algebra – Singulärwertzerlegung
- Wie lautet die Singulärwertzerlegung einer Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿ?
- A = UΣVᵀ mit orthogonalen U ∈ ℝᵐˣᵐ, V ∈ ℝⁿˣⁿ und Diagonalmatrix Σ ∈ ℝᵐˣⁿ mit nicht-negativen Singulärwerten σ₁ ≥ … ≥ σᵣ > 0.
- Was sind die Singulärwerte einer Matrix A?
- Die Singulärwerte σᵢ sind die nicht-negativen Wurzeln der Eigenwerte von AᵀA (oder AAᵀ), sortiert absteigend: σᵢ = √λᵢ(AᵀA).
- Welche Eigenschaften haben die Matrizen U und V in der SVD?
- U und V sind orthogonal (UᵀU = I, VᵀV = I). Die Spalten von U sind Eigenvektoren von AAᵀ, die Spalten von V Eigenvektoren von AᵀA.
- Wie bestimmt man den Rang einer Matrix mittels SVD?
- Der Rang r entspricht der Anzahl der positiven Singulärwerte. Null-Singulärwerte zeigen dimensionsdefizite an.
- Was besagt der Satz von Eckart-Young-Mirsky?
- Die beste Approximation einer Matrix A niedrigeren Rangs k (in Spektral- und Frobeniusnorm) ergibt sich durch Abschneiden der SVD nach den größten k Singulärwerten.
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