Mathematik Numerik – Fehleranalyse und Kondition
Fehleranalyse und Kondition bilden das Fundament jeder numerischen Berechnung. Wer nicht einschätzen kann, wie Eingabefehler das Ergebnis beeinflussen, liefert unzuverlässige Lösungen. Nach dem Lernen dieser Karten beherrschst du Fehlerarten, Konditionszahlen, Stabilitätsbegriffe und typische Fallstricke wie Auslöschung – essenziell für Klausuren und spätere Implementierungen.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Was ist der absolute Fehler einer Näherung x̃ zu einem exakten Wert x?
- Wie wird der relative Fehler definiert und wann ist er aussagekräftiger?
- Unterscheide Vorwärtsfehler und Rückwärtsfehler bei numerischen Verfahren.
- Was besagt die Konditionszahl κ eines Problems?
Lerntipp
Berechne Konditionszahlen immer selbst für kleine Beispielmatrizen (z. B. Hilbert-Matrix), um ein Gefühl für ill-conditioned Probleme zu entwickeln – Theorie allein reicht nicht.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Numerik – Fehleranalyse und Kondition
- Was ist der absolute Fehler einer Näherung x̃ zu einem exakten Wert x?
- Der absolute Fehler ist |x - x̃|, also der Betrag der Differenz zwischen exaktem Wert und Näherung.
- Wie wird der relative Fehler definiert und wann ist er aussagekräftiger?
- Relativer Fehler = |x - x̃| / |x| (für x ≠ 0). Er ist aussagekräftiger, da er die Größenordnung des exakten Werts berücksichtigt.
- Unterscheide Vorwärtsfehler und Rückwärtsfehler bei numerischen Verfahren.
- Vorwärtsfehler: Abweichung des berechneten Ergebnisses vom exakten. Rückwärtsfehler: Störung der Eingabedaten, die das berechnete Ergebnis exakt erklären würde.
- Was besagt die Konditionszahl κ eines Problems?
- κ misst die maximale relative Ausgabeänderung bei relativer Eingabeänderung: κ = lim_{δ→0} sup (|Δy|/|y|) / (|Δx|/|x|).
- Wann nennt man ein Problem gut konditioniert, wann ill-konditioniert?
- Gut konditioniert: κ ≈ 1 (kleine Eingabeänderungen → kleine Ausgabeänderungen). Ill-konditioniert: κ ≫ 1 (kleine Eingabeänderungen → große Ausgabeänderungen).
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